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Sagot :
Réponse :
Exercice 3
N = a² + b² + 6 avec a et b deux entiers naturels impairs.
A est impair, de ce fait a peut s'écrire sous la forme 2k + 1 avec k un entier relatif. Idem pour b.
Posons a = 2k+1 avec k un entier relatif et b = 2k'+1 avec k' un entier relatif.
On développe :
N = 4k² + 4k + 1 + 4k'² + 4k' + 1 + 6
N = 4k² + 4k + 4k'² + 4k' + 8
On factorise :
N = 8 + 4(k + k² + k'² + k')
Or k + k² + k' + k'² est pair (1) et peut donc s'écrire sous la forme 2p avec p un entier relatif. De ce fait, on a :
N = 8 + 4(2p)
N = 8(1 + p)
Ainsi, N est divisible par 8 car il s'écrit sous la forme 8k avec k un entier relatif.
Exercice 4
Nous devons montrer l'assertion suivante : [tex]\forall n \in N, 5n^2+3n[/tex].
Procédons par disjonctions des cas : ou bien n est pair ou bien n est impair.
Si n est pair, alors n² est pair. 5n² est donc pair et 3n est aussi pair. La somme de deux entiers pairs est paire donc 5n² + 3n est pair.
Si n est impair, alors n² est impair. 5n² est donc impair et 3n est aussi impair. La somme de deux entiers impairs est pair donc 5n² + 3n est pair.
Conclusion : dans les deux cas 5n² + 3n est un nombre pair.
Explications étape par étape :
(1) : Nous pouvons très facilement démontrer cette affirmation par disjonction des cas. Si k est impair, alors k + k² est pair puisque la somme de deux entiers impairs est paire. Si k est pair, alors k + k² est pair puisque la somme de deux entiers pairs est paire. Idem pour k' + k'².
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