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Ex n°1:

1. Sans calculer leur PGCD, dire pourquoi les nombres 648 et 972 ne sont pas premiers entre eux.
2. a. Calculer PGCD (972;648)
En déduire l'écriture irréductible de la fraction 648/972 (écriture fractionnaire).
b. Prouver que V648 + V972 = 18(V3 + V2)

V = racine carrée

Ex n°2:

L'unité de longueur est le cm.
ABC est un triangle tel que: AB = 4V5; AC = V125; BC = V45
1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
b. Calculer le périmètre de ce triangle et présenter la réponse sous la forme aV5.
c. Calculer l'aire du triangle ABC en cm².

V = racine carrée

2. On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
a. Préciser la position de son centre K. Justifier.
b. Calculer la longueur du rayon de ce cercle et présenter la réponse sous la forme aVc/b (écriture fractionnaire), avec a, b, c nombres entiers.

3. D est le point tel que ACBD soit un parallélogramme.
On note O le point d'intersection de ses diagonales.
a. Démontrer que les droits (BC) et (OK) sont parallèles.
b. Calculer la longueur OK.

Sagot :

Omnes
Salut;
EX1
1)648 et 972 sont deux nombres paires, ils sont donc tous les deux divisibles par 2. Ainsi leur PGCD est au moins égal à 1. Ils ne sont donc pas premiers entre eux.
2)Résolution avec l'algorithme d'Euclide : 972 = 648 x 1 + 324
                                                                   648 = 324 x 2 + 0
Le PGCD de 972 et 648 est le dernier reste non nul ainsi PGCD (972 ; 648) = 324
Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, ainsi  on divise le numérateur et le dénominateur par 324 donc 648 / 972 = 2/3
3)
V648 = V ( 324*3) V972 = V (324*2) et  V324 = 18  donc on a bien l'égalité verifiée V(324) * (V3 +V2)  18(V3+V2)

Exercice 2:

L'unité de longueur est le cm.
ABC est un triangle tel que: AB = 4V5; AC = V125; BC = V45
1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

AB² + BC² = (4V5)² + (V45)² = 16*5  + 45 = 125
AC² = (V125)² = 125

AB² + BC² = AC², selon la réciproque du théorème de pythagore, le triangle est rectangle.

b. Calculer le périmètre de ce triangle et présenter la réponse sous la forme aV5.

P = AB + BC + AC = V45 + V125 + 4V5 = 3V5 + 5V5 + 4V5 = 12V5cm

c. Calculer l'aire du triangle ABC en cm².
A = AB*BC / 2 = (4V5) * (V45) / 2 = 4V5 * 3V5/2 = 12*5/2 = 60/2 = 30cm²


V = racine carrée

2. On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
a. Préciser la position de son centre K. Justifier.

Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Donc K est le centre de [AC]

b. Calculer la longueur du rayon de ce cercle et présenter la réponse sous la forme aVc/b (écriture fractionnaire), avec a, b, c nombres entiers.

AC / 2 = V125 / 2 = 5V5 / 2

3. D est le point tel que ACBD soit un parallélogramme.
On note O le point d'intersection de ses diagonales.
a. Démontrer que les droits (BC) et (OK) sont parallèles.

On sait que K milieu de [AC]
On sait que O point d'intersection des diagonales.
De plus, on sait que dans un parallèlogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, donc O milieu de [DC] et de [AB]
Donc O milieu de [AB]

Dans ABC,
On a donc O milieu de [AB] et K milieu de [AC]
Or selon le théorème de la droite des milieux, (OK) est parallèle à (BC) et OK = 1/2 BC

b. Calculer la longueur OK.

OK = 1/2 BC = 1/2 * V45 = 1/2 * 3V5 = 3V5 / 2

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