Bonsoir.
1/ Si on realise la figure dans un repere orthonorme, il semble que le triangle ABC est rectangle en A. Si tel est le cas, alors les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires ont le produit de leurs coefficients directeurs egal a -1.
a(AB) = (yB - yA) / (xB - xA) = (3 - 0) / (-1 + 2) = 3/1 = 3.
a(AC) = (yC - yA) / (xC - xA) = (-2 - 0) / (4 + 2) = -2/6 = -1/3.
-1/3 * 3 = -1, par consequent (AB) ┴ (AC), d ou ABC rectangle en A.
2a/ Le cercle circonscrit a un triangle rectangle ayant pour diametre son hypotenuse, son centre K est alors le milieu de celui-ci : [BC].
xK = (xB + xC) / 2 = (-1 + 4) / 2 = 3/2.
yK = (yB + yC) / 2 = (3 - 2) / 2 = 1/2.
Donc K (3/2 ; 1/2).
Rayon du cercle :
A, B, C sont des points du cercle et K le centre,
donc KA = KB = KC = rayon.
Calculons KA (par exemple) :
KA = √[(xA - xK)² + (yA - yK)²]
KA = √[(-2 - 3/2)² + (0 - 1/2)²]
KA = √[(-7/2)² + (-1/2)²]
KA = √(49/4 + 1/4)
KA = √(50/4)
KA = √50 / √4
KA = √50 / 2
KA = 5√2 / 2
KA = 5/2.√2 = rayon du cercle
(rayon ≈ 3,5)
2b/ Si D et F sont des points du cercle,
alors KD = KF = rayon = 5/2.√2.
KD = √[(xD - xK)² + (yD - yK)²]
KD = √[(4 - 3/2)² + (3 - 1/2)²]
KD = √[(5/2)² + (5/2)²]
KD = √(25/4 + 25/4)
KD = √(50/4)
KD = √50 / √4
KD = √50 / 2
KD = 5√2 / 2
KD = 5/2.√2, donc KD est aussi un rayon du cercle,
par consequent D est situe sur le cercle.
KF = √[(xF - xK)² + (yF - yK)²]
KF = √[(7/2 - 3/2)² + (7/2 - 1/2)²]
KF = √(2² + 3²)
KF = √(4 + 9)
KF = √13
(√13 ≈ 3,6)
√13 ≠ 5/2.√2, donc F ∉ cercle.
c/ Si (DF) est tangente au cercle, alors (KD) ┴ (DF) et a(KD) * a(DF) = -1.
a(KD) = (yD - yK) / (xD - xK) = (3 - 1/2) / (4 - 3/2) = 5/2 / 5/2 = 1.
a(DF) = (yF - yD) / (xF - xD) = (7/2 - 3) / (7/2 - 4) = 1/2 / (-1/2) = -1.
1 * (-1) = -1 ⇒ (KD) ┴ (DF) ⇒ (DF) est tangente au cercle en D.
Bonne nuit !
