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Je ne comprends pas comment faire cette exercice si vous pouvez m'aider :

Exercice n°1

1. Déterminer un polynome de degré 2 vérifiant :
Pour tout x réel, P(x + 1) - P(x) = x

2. Prouver que quel que soit le polynome P vérifiant la propriete de la question 1, on a l'égalité :
Pour tout n entier naturel.
n》1. 1+2+...+n= P(n+1) - P(1)

3. Déduire des questions 1 et 2 la formule :
Pour tout n entier naturel.
n》1. 1+2+...+n = n(n+1)/2

4. Calculer rapidement la Somme des 2015 premiers nombres entiers non nuls
(i.e. 1+2+...+2015)​​

Sagot :

Caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

1)

[tex]P(x)=ax^2+bx+c\\\\P(x+1)^2=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+(2a+b)x+a+b+c\\\\P(x+1)-P(x)=2ax+a+b =x\\\Longrightarrow\ a=\dfrac{1}{2} \ et\ b=-\dfrac{1}{2} \\\\\boxed{P(x)=\dfrac{x^2-x}{2} +c}\\[/tex]

2) 3)

[tex]P(x+1)-P(x)=x\\\\x=1\Longrightarrow\ P(2)-P(1)=1\\x=2\Longrightarrow\ P(3)-P(2)=2\\x=3\Longrightarrow\ P(4)-P(3)=3\\...\\x=n\Longrightarrow\ P(n+1)-P(n)=n\\\\S=1+2+3+...+n=P(n+1)-P(1)=\dfrac{(n+1)*n}{2} +c - c\\\\\boxed{S=1+2+3+...+n=\dfrac{(n+1)*n}{2} }\\[/tex]

4)

[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^n\ i =\dfrac{2015*2016}{2} =4 0 46 120\\[/tex]

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