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Sagot :
1er cas :
x et y ≥0 alors -(x+y)≤0
IxI=x et IyI=y
IxI+IyI≥0
Donc -(x+y)≤0≤IxI+IyI soit -(x+y)≤IxI+IyI
2ème cas :
x et y ≤0 alors IxI=-x et IyI=-y
Donc IxI+IyI=-(x+y)
On a bien -(x+y)≤IxI+IyI
3ème cas :
x≤0 et y≥0 (le problème étant symétrique, la démonstration vaut pour les 2 cas où x et y sont de signes différents)
IxI=-x
IyI=y
-y≤y=IyI puisque y≥0
Donc -x-y≤y-x
soit -(x+y)≤IxI+IyI
Donc on a toujours -(x+y)≤IxI+IyI
x et y ≥0 alors -(x+y)≤0
IxI=x et IyI=y
IxI+IyI≥0
Donc -(x+y)≤0≤IxI+IyI soit -(x+y)≤IxI+IyI
2ème cas :
x et y ≤0 alors IxI=-x et IyI=-y
Donc IxI+IyI=-(x+y)
On a bien -(x+y)≤IxI+IyI
3ème cas :
x≤0 et y≥0 (le problème étant symétrique, la démonstration vaut pour les 2 cas où x et y sont de signes différents)
IxI=-x
IyI=y
-y≤y=IyI puisque y≥0
Donc -x-y≤y-x
soit -(x+y)≤IxI+IyI
Donc on a toujours -(x+y)≤IxI+IyI
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