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Bonjour, je suis actuellement en BTS et nous avons à rendre un dm de maths que j'arrive absolument pas à faire.
On considère la fonction numérique f, définie sur l'intervalle ]0;e] F(x)=x-(lnx)/x
1/ a) Etudier, suivant les valeurs réels x, le signe de x - f(x) sur l'intervalle ]0;e]
b) En déduire la position relative de la courbe C et de la droite
2/ a) Determiner la fonction dérivée g' de la fonction numérique g definie sur l'intervalle ]0;e] par g(x)= (lnx)2 En déduire sur cet intervalle, une primitive de la fonction qui, a x, associe lnx/x
b) Calculer en cm3, l'aire de la partie du plan limité par la courbe C, la droite et les droites d'équations x=1 et x=e
Cordialement,
;e]. On a :
x - f(x) = x-x+ln(x)/x = ln(x)/x. x est toujours positif d'après l'intervalle sur lequel il est défini.1) a) Soit x dans ]0
Or, ln(x) < 0 sur ]0;1[ et ln(x) > 0 sur ]1;e].
Donc x-f(x) < 0 sur ]0;1[ et x-f(x) >ou=0 sur [1;e]
b)J'imagine qu'il s'agit de la courbe f(x)=x-ln(x)/x et de la droite g(x) = x
On a alors : la courbe en dessous de la droite sur [1;e] et au dessus de la droite sur
]0;1].
2) a) On a g(x) = ln(x)²
g'x) = 2ln(x)/x
Donc (1/2) ln(x)² est une primitive de la fonction qui a x associe ln(x)/x.
b) Il s'agit là de déterminer l'intégrale de 1 à e, de C(x), c'est à dire : de calculer :
[x²/2 - (1/2)ln(x)²] entre les bornes 1 et e.
Donc L'aire est égale à : e²/2-1/4-1/2 = e²/2-3/4.
FIN