Réponse :
Re bonjour, attention quand tu recopies un énoncé vérifie ou joins une copie.
Explications étape par étape :
Le rectangle a pour longueur OM=x et pour largeur MN=f(x)=2e^-x
Son aire est donc A=OM*MN soit
A(x)=2x*e^-x ou A(x)=2x/(e^x)
il nous faut étudier cette fonction sur [0; +oo[
limites
si x=0, A(x)=0
si x tend vers +oo, A(x)tend vers 0+
Dérivée A(x) est une fonction quotient u/v sa dérivée (u'v-v'u)/v²
A'(x)=[2e^x-(e^x)(2x)]/(e^x)²=(e^x)(2-2x)/(e^x)²=(2-2x)/(e^x)
A'(x)=0 pour x=1
Tableau de signes de A'(x) et de variations de A(x)
x 0 1 +oo
A'(x) + 0 -
A(x) 0 croi A(1) décroi 0+
l'aire du rectangle est maximale pour x=1
les dimensions du rectangle sont OM=1 u.l et MN=f(1)=2/e=0,736 u.l
et A(1)=2/e u.a soit 0,736 u a (environ)
