Bonsoir,
- Il faut commencer par démontrer que (MN) est parallèle à (BC) :
(MN) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à (AC) ; or, si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (MN) // (BC).
- On a A,M,B alignés dans cet ordre , A,N,C alignés dans cet ordre et (MN) // (BC). On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
[tex] \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} [/tex]
1. [tex] \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}
donc en faisant les produits en croix, on a : AM.AC = AB.AN
D'autre part, si [tex] \frac{AN}{AM} = \frac{AC}{AB} [/tex] , on a AN.AB = AM.AC
La propriété étant réciproque, puisque AN.AB = AM.AC, alors on a [tex] \frac{AN}{AM} = \frac{AC}{AB} [/tex]
De même pour les autres égalités :
2. On a [tex] \frac{AM}{AB } = \frac{MN}{BC} [/tex] donc AM.BC = AB.MN
et de là, [tex] \frac{MN}{AM} = \frac{BC}{AB} [/tex]
3. On a [tex] \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} [/tex] donc AN.BC = MN.AC
d'où [tex] \frac{MN}{AN} = \frac{BC}{AC} [/tex]
2è manière : si tu n'est pas à l'aise avec la réciproque de la propriété des produits en croix, tu peux toujours recalculer : par exemple, on a AM.AC = AB.AN
donc
