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Un conteneur parallélépipédique à basse carrée a un volume de 8 m3. On veut protéger les parois extérieures par un produit anti-rouille.
On note x la longueur de la base et y la hauteur, exprimées en mètres.
1) Exprimer y en fonction de x.
2) Exprimer l'aire totale A(x) des parois extérieures du conteneur en fonction de x.
3)a) Démontrer que, pour tout x: xcube - 8=(x-2)(x²+2x+4)
b) En déduire le signe de xcube - 8
4)a) Etudier le sens de variation de la fonction A sur ]0 ; + infinit[
b) En déduire les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cheren produit anti-rouille
1) On a, d'après la formule du volume d'un parallélépipède de base carrée :
8 = x²y
Donc y = 8/x²
2) On a 2 faces donc l'aire vaut x² cm²
4 faces dont l'aire vaut xy cm². D'où :
A(x) = 2x²+4xy = 2x²+4x(8/x²) = 2x² + 32/x
3)a) On a (x-2)(x²+2x+4) = x³+2x²+4x-2x²-4x-8 = x³-8
b) On a (x²+2x+4) = (x+1)²+3 > 0 Donc x³-8≥0 pour x≥2 et x³-8≤0 pour x≤2.
4)a) A(x) est dérivable sur ]0 ; + infini[ et on a :
A'(x) = 4x -32/x²
Or, A'(x) est du signe de (x²/4)*A'(x) = x³-8 puisque (x²/4)≥0
Donc A est décroissante sur ]0;2] et croissante sur [2;+inf[
b) Le produit sera moins cher pour une aire de A minimal, or A est continue donc admet un minimum en x = 2, c'est à dire pour :
A(2) = 8+16 = 24 cm²
FIN