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QuantinL
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Bonjour, j'ai besoin de vous ! :)

Soit P le trinôme définie sur R par P(x)=3x2+λx+(9+λ) ou λ est un réel.

1. Pour quelle(s) valeur(s) de λ le trinôme P n’a t-il pas de racine réelle ?
2. Pour quelle valeur de λ le nombre 2 est –il une racine de P

Merci :)

Sagot :

Overjay
je suppose que le trinome est en fait
P(x) = 3x² + λx + (9+λ)
calculons le discriminant
DELTA(λ) = λ²-4.3.(9+λ) = λ²-12λ- 108
étudions le signe de DELTA en fonction de λ
delta2 = 12² + 4 . 1 . 108 = 144 + 432 = 576 =24²
donc DELTA s'annule en λ1 = (12+24)/2 = 36/2 = 18
et n λ2= (12-24)/2 = -12/2 = -6
et DELTA(λ) = (λ-18)(λ+6)
donc DELTA est négatif  sur l'intervalle de λ [-2;18]
Sur cet intervalle, 
Donc P(x) est toujours 2 racines réelles distinctes, quelle que soit les valeurs de λ hors de cet intervalle 
2- si λ appartient a ]-inf, -2] U [18, +inf[
les solution sont 
x1 =1/6.( - λ +SQRT((λ-18)(λ+6)))
ou
x2 = 1/6.( - λ -SQRT((λ-18)(λ+6)))
résolvons x1 = 2 
12 = - λ + SQRT((λ-18)(λ+6)))
SQRT((λ-18)(λ+6))) = 12+ λ
(λ-18)(λ+6) = ( 12+ λ)² = 144+24λ+λ²
λ² -12λ + 108 = 144 + 24λ + λ²
36λ = 108-144 = -36
λ = -1 (impossible car pas dans l'intervalle de départ)

résolvons x2 = 2
12 = - λ - SQRT((λ-18)(λ+6)))
SQRT((λ-18)(λ+6))) = -12+ λ
(λ-18)(λ+6) = ( -12+ λ)² = 144-24λ+λ²
λ² -12λ + 108 = 144 - 24λ + λ²
12λ = 144-108 = 36
λ = 3 (impossible car pas dans l'intervalle de départ)

Conclusion : 2 n'est jamais un racine de P, quelque soit la valeur de λ
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