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Ambre200535
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Bonsoir tout le monde, j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour cet exercice de math niveau première. Mercii d'avance ^^

ABC est un triangle rectangle en A, M est le milieu du segment [BC], H est le pied de la hauteur issue de A, K est le projeté orthogonal de H sur (AB) et L est le projeté orthogonal de H sur (AC).

1. Faire une figure.
2. Justifier les égalités suivantes :
a. AM(vecteur)= 1/2 (AB(vecteur)+ AC(vecteur))
b. AB(vecteur).KL(vecteur) = AB(vecteur).KA(vecteur) = AB(vecteur).HA(vecteur)
c. AC(vecteur).KL(vecteur)= AC(vecteur).AL(vecteur) = AC(vecteur).AH(vecteur)

3. Démontrer alors que les droites (AM) et (KL) sont perpendiculaires.

Sagot :

Réponse :

2) justifier les égalités suivantes

      a) vec(AM) = 1/2(vec(AB) + vec(AC))

vec(AM) = vec(AB) + vec(BM)    d'après la relation de Chasles

              = vec(AB) + 1/2vec(BC)     M milieu de (BC)

              = vec(AB) + 1/2(vec(BA) + vec(AC))   relation de Chasles

              = vec(AB) - 1/2vec(AB) + 1/2vec(AC)

               = 1/2vec(AB) + 1/2vec(BC)

               = 1/2(vec(AB) + vec(AC))

b) vec(AB).vec(KL) = vec(AB).vec(KA) = vec(AB).vec(HA)

vec(AB).vec(KL) = vec(AB).(vec(KA) + vec(AL) = vec(AB).vec(KA) + vec(AB).vec(AL)    or  vec(AB).vec(AL) = 0   car cos 90° = 0

donc vec(AB).vec(KL) = vec(AB).vec(KA)

et  vec(AB).vec(KA) = vec(AB).(vec(KH) + vec(HA))  

= vec(AB).vec(KH) + vec(AB).vec(HA)  or vec(AB).vec(KH) = 0  car cos 90° = 0

donc  vec(AB).vec(KA) = vec(AB).vec(HA)

par conséquent;  on a:

vec(AB).vec(KL) = vec(AB).vec(KA) = vec(AB).vec(HA)

c) vec(AC).vec(KL) = vec(AC).vec(AL) = vec(AC).vec(AH)

vec(AC).vec(KL) = vec(AC).(vec(KA) + vec(AL)) = vec(AC).vec(KA) + vec(AC).vec(AL)    or vec(AC).vec(KA) = 0   car cos 90° = 0

donc vec(AC).vec(KL) = vec(AC).vec(AL)

et vec(AC).vec(AL) = vec(AC).(vec(AH) + vec(HL) = vec(AC).vec(AH) + vec(AC).vec(HL)    or  vec(AC).vec(HL) = 0   car cos 90° = 0

donc  finalement   vec(AC).vec(KL) = vec(AC).vec(AL) = vec(AC).vec(AH)

 

Explications étape par étape :

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