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- DM DE MATHS, AIDEZ MOI SVP -

Bonsoir,
J'aurais vraiment besoin de votre aide pour mon dm de maths s'il vous plait!
(je le mets en pièce jointe)

Merci beaucoup pour votre aide !


DM DE MATHS AIDEZ MOI SVP Bonsoir Jaurais Vraiment Besoin De Votre Aide Pour Mon Dm De Maths Sil Vous Plait Je Le Mets En Pièce Jointe Merci Beaucoup Pour Votr class=

Sagot :

Je te livre le fruit de ma réflexion mais ce n'est que la mienne:).......
Exercice 1 : a) Soit f(x) =sinx-x définie sur R+ car on nous dit x positif
f ' (x)=cosx-1 <0 car cosx<1 par définition
donc f(x) décroît à partir de f(0) qui est égal à 0 donc f(x) a  toujours des valeurs négatives donc sinx<x vérifié sur R+
SUR LE CLAVIER JE NAI PAS DE < OU = mais par la suite ce sera pareil , considère mes < pour des < ou = Donc ici c'est sinx < ou = à x

b)Soit g(x)=1-xcarré/2-cosx    g ' (x)=-x+sinx  REMARQUE QUE g ' (x)=f(x)
donc g ' (x)<0 donc g(x) décroît à partir de g(0)=0 donc si g  décroît à partir de g(x)=0 alors g(x) est toujours négatif
donc 1-xcarré/2<cosx  (<ou=bien-sûr)
Donc vérifié sur R+

c)Soit h(x)=x-xcube/6-sinx  h ' (x)=1-xcarré/2-cosx REMARQUE QUE h ' (x)=g(x)
donc h'(x)<0 donc h(x) décroît à partir de h(0)=0 donc h(x)<0
donc x-xcube/6<sinx
Donc vérifié sur R+

d)Soit i(x)=cosx-1+xcarré/2-x^4/24  i ' (x)=-sinx+x-xcube/6  REMARQUE QUE i ' (x)=h(x)  donc i ' (x)<0  donc i (x) décroît à partir de i(0)=0 donc i(x)<0
donc cosx<1-xcarré/2+x^4/24

e)  Conclusion :    x-xcube/6 < sinx < x    (<ou=bien-sûr comme toujours)
                           1-xcarré/2 < cosx < 1-xcarré/2+x^4/24

Exercice 2 : a) On remplace x dans les deux expressions par 0,2
et on trouve  0,198 < sin0,2 < 0,2
et                  0,98 < cos0,2 < 0.98006666
b) fais le à la calculatrice scientifique stp , je n'en ai pas sous la main
c) On s'occupe de x-sinx/xcarré
j'ai décomposé cette expression en x/xcarré + (-sinx)/xcarré=1/x + sin(-x)/xcarré    car -sinx=sin(-x)
     -1 < sin(-x) <1    car tous les sinus sont compris dans cer intervalle
     -1/xcarré < sin-x/xcarré < 1/xcarré    c'est une multiplication par 1/xcarré qui est positif donc on conserve l'ordre
1/x -1/xcarré < 1/x + sin(-x)/xcarré < 1/x+1/xcarré
(x-1)/xcarré < (x-sinx)/xcarré < (x+1)/xcarré
En 0 lim de (x-1)/xcarré=infini    et lim de (x+1)/xcarré=infini
Donc limite de (x-sinx)/xcarré=infini d'après le théorème des gendarmes

d) On s'occupe de 1-cosx/xcarré qui en 0 donne une forme indéterminée aussi
(1-cosx)/xcarré=(1-cosx)(1+cosx)/xcarré(1+cosx)
=(1-cosxcarré)/xcarré(1+cosx)
=sinxcarré/xcarré(1+cosx)    j'ai utilisé : cosxcarré+sinxcarré=1
=(sinxcarré/xcarré) fois 1/1+cosx
=(sinx/x)carré*(1/1+cosx)
limite de sinx/x=1 en xtendant vers 0 donc lim de (sinx/x)carré=1carré=1
limite de 1/1+cosx=1/2  quand x tend vers 0
Donc lim de 1-cosx/xcarré=1fois1/2=1/2 quand x tend vers 0
e)sinx/x n'est pas continue en 0 car elle n'y est pas définie
EN REVANCHE EN POSANT f(0)=1 , f ainsi prolongée est continue
En utilisant les encadrements du 1) , on remarque que au plus x se rapproche de 0 , au plus la valeur de sinx se rapproche de x
donc près de x=0 sinx/x tend vers x/x donc tend vers 1
Or 1=f(0) dit dans l'énoncé donc limite de sinx/x quand x tend vers0=f(0)
donc f est continue en 0 : c'est la définition d'une fonction continue dans ton cours . D'une manière générale , une fonction f est continue en 1 point si sa limite quand x tend vers ce point = f(ce point)

J'espère que c'est compréhensible
Reprends tout en recalculant et dis moi si ça "cloche" , n'hésite pas. Je suis largement faillible et ça me fera avancer
Bon courage dans tes études:)


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