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Nouza94
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Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plaît c'est pour lundi, merci d'avance

u(n) est la suite définie par u(0) = 1 et, pour tout n entier naturel, u(n + 1)= u(n) + n + 1.
Démontrer par récurrence que, pour tout n entier naturel: u(n) = n²/2 + n/2 + 1.

Au début de l'exo je trouve qu'on conjecture que la limite de u(n+1) c'est +inf

Sagot :

Micka44

Bonsoir :))

[tex]U_n\ est\ la\ suite\ d\'efinie\ par\ U(0)=1\ et,\ \forall n\in\mathbb N\ par:\\U_{n+1}=U_n+n+1\\\\Initialisation:n=0\\U(0)=1\\U(0)=\frac{0^{2}}{2}+\frac{0}{2}+1=1\\\\La\ propri\'et\'e\ P(n)\ est\ vraie\ au\ rang\ n=0.\\\\H\'er\'edit\'e:\ supposons\ que\ P(n)\ est\ vraie,\ d\'emontrons\ alors\ que\\P(n+1)\ est\ vraie\ aussi\\[/tex]

[tex]\\P(n):U_n=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}+1\\\Leftrightarrow U_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{2}+\frac{n+1}{2}+1\\\\\Leftrightarrow U_{n+1}=\frac{n^{2}+2n+1}{2}+\frac{n+1}{2}+\frac{2}{2}\\\\\Leftrightarrow \boxed{U_{n+1}=\frac{n^{2}+3n+4}{2}}\\[/tex]

[tex]On\ sait\ que\ U_{n+1}=U_n+n+1,\ montrons\ le\ m\^eme\ r\'esultat:\\\\U_{n+1}=(\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}+1)+n+1\\\\U_{n+1}=\frac{n^{2}}{2}+\frac{3n}{2}+2\\\\\boxed{U_{n+1}=\frac{n^{2}+3n+4}{2}}[/tex]

[tex]Conclusion :La\ propri\'et\'e\ P(n)\ est\ vraie\ pour\ n=0\ et\ est\ h\'er\'editaire.\\U(n)=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}+1\ \ \ \forall\ n\in\mathbb N[/tex]

Espérant que cela t'apporte les éléments nécessaires à ta compréhension, bonne continuation :))

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