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Ririxgaming38
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Bonjour, je bloque sur un exercice qui n'est pourtant pas dur. L'énoncé est le suivant :

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = ax²+bx+c , où a, b et c sont des réels. On note & sa représentation graphique. On sait que & admet une tangente horizontale au point d'abscisse -3 et & admet la droite d'équation y = 4x + 5 pour tangente au point d'abscisse -1. Déterminer l'expression de la fonction f.

Voici ce que j'ai fait :
On sait que f'(-3)=0 et f'(-1)=4
f'(x)=2ax + b
donc : -2a+b-4=0
-6a+b=0
On trouve a=1 et b=6
Donc f'(x)=2x+6
J'essaye de trouver f(x) à partie de f'(x) donc : f(x)= x^2 + 6x + K
Mon problème est le suivant, je n'arrive pas à trouvé la constante K.

Merci d'avance

​

Sagot :

Pitouille

Réponse :

Explications étape par étape :

A partir de "On sait que [tex]\mathcal{C}_f[/tex] admet une tangente horizontale au point d'abscisse -3", on a bien :

[tex]f'(-3)=2a\times(-3)+b=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow -6a+b=0[/tex]  (1)

Si [tex]y=4x+5[/tex] est tangente à [tex]\mathcal{C}_f[/tex] au point -1 alors [tex]f'(-1)[/tex] est le coefficient directeur de la tangente et on a bien :

[tex]f'(-1) = 2a\times(-1) + b = 4[/tex]

[tex]\Leftrightarrow -2a+b=4[/tex]  (2)

En faisant (1) - (2) on trouve bien a = 1 puis on déduit b = 6

Jusque là tout va bien... le seul maillon manquant était que si [tex]y=4x+5[/tex] est tangente à [tex]\mathcal{C}_f[/tex] au point -1, alors la tangente et la courbe partagent le même point (-1 ; 1). Donc on doit avoir :

[tex]f(-1) = 1[/tex]

Soit [tex](-1)^2+6\times (-1)+c=1[/tex]

donc c = 6

[tex]f(x)=x^2+6x+6[/tex]

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