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Réponse :
voici c'que j'ai calculer
Explications étape par étape :
1) L'expression d'une parabole peut s'écrire sous sa forme dite "canonique" qui est :
f(x) = k(x - a)² + b
Avec (a, b) coordonnées du sommet de la parabole et k coefficient devant le "x²".
On a alors :
f(x) = k(x - 2)² + 3
==> f(x) = k(x² - 2x + 4) + 3
==> f(x) = kx² - 2kx + 4k + 3
P passe par le point A(0 ; -1).
On a alors :
f(0) = -1 ==> f(0) = 4k + 3 = -1 ==> k = -1
D'où, f(x) = -x² + 2x - 1.
2) On a f(-2) = 0, f(1) = 0 et f(0) = 2. On va utiliser l'expression de f qui est : f(x) = ax² + bx + c avec a,b et c coefficients à déterminer.
Grâce aux points où passe la courbe, on pose le système :
(1) : 4a - 2b + c = 0
(2) : a + b + c = 0
(3) : c = 2
On a déjà trouvé c sans calcul. Reste à déterminer a et b.
On a que a = - b - 2 par (2) et on place cette valeur de a dans (1).
(1) <=> 4(-b - 2) - 2b + 2 = 0 <=> -4b - 2b - 8 + 2 = 0 <=> b = -1
D'où a = - (-1) - 2 = -1
On a finalement que f(x) = -x² - x + 2.
3) P coupe l'axe des abscisses en l'origine O. Donc f(0) = 0. Donc, dans l'expression f(x) = ax² + bx + c, c = 0.
Il nous reste à déterminer a et b dans f(x) = ax² + bx.
P passe par le point B(3 ; 1). Donc :
f(3) = 9a + 3b = 1.
P admet un axe de symétrie en A(1, 0).
Donc, f(1 + 2) = f(1 - 2) ==> f(3) = f(-1) = 1
Or, f(-1) = a - b
On a alors le système :
9a + 3b = 1
a - b = 1 <=> a = 1 + b
D'où, 9(1 + b) + 3b = 1 <=> 9 + 9b + 3b = 1 <=> 12b = -8 <=> b = -2/3
Donc, a = 1 - 2/3 = 1/3
Donc, f(x) = 1/3x² - 2/3x
Si tu as des questions, je reste dispo. A+
NB : Tu peux vérifier à l'aire de Géogébra que graphiquement les résultats sont corrects.