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SHABCD est une pyramide régulière à base carré qui a pour hauteur SH =21cm ; son volume est de 847cm cube. 1) Calculer la longueur des arrêtes de base. 2) Calculer les longueurs des diagonales de sa base (valeur exactes) 3) H est le pied de la hauteur de la pyramide. Quelle est la nature du triangle SAH? Calculer la longueur des arrêtes latérales . 4) Calculer la longueur totale des arêtes de la pyramide. On donnera la valeur exacte puis l'arrondi au centième de cm/ 5) On considère la section de cette pyramide par un plan parallèle à sa base passant par le point H' de [SH] tel que SH'=5cm. Quelle est la nature de la section obtenue? Calculer le volume de la pyramide obtenue après réduction
1) Soit V le volume de la pyramide.
B l'aire de sa base.
h, sa hauteur.
On a :
V = ⅓*B*h
Donc B = 3V/h = 3*847/21 = 121 cm²
Or, la base de la pyramide est un carré.
On posant c la longueur du côté du carré, on a :
c² = B ( formule de l'aire d'un carré)
Donc c = √B = √121 = 11 cm puisque c ≥ 0 ( c'est une longueur )
2) Dans le carré ABCD de côté AB = 11cm, les diagonales sont égales ( c'est un carré ).
On applique alors le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B par exemple, et on trouve :
AC² = AB² + BC² = 121+121 = 242
AC = √242 = 11√2 cm puisque AC ≥ 0
Les diagonales de sa base font alors 11√2 cm chacune.
3) H étant le pied de la pyramide SHABCD, alors le triangle SAH est rectangle en H.
On a SH = 21 cm. Et AH = AC/2 = 5.5√2 cm.
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SAH rectangle en H, d'où :
SA² = SH²+AH² = 21²+(5.5√2)² = 501.5
SA = √501.5 cm
Les arrêtes latérales étant égales, elles font toutes √501.5 cm.
4)Soit S la longueur totale des arêtes de la pyramide, on a :
S = 4SA + 4AB = 4(√501.5 + 11) = 133.58 cm.
5) La section obtenue est un carré.
Ce carré a pour côté c' = (5/21)*11 = 55/21 cm.
Son aire A' est alors de : A' = (55/21)² = 3025/441.
Et le volume V' de cette pyramide est alors de :
V' = (1/3)*(3025/441)*5 = 11.43 cm³
FIN