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Sagot :
Bonjour
On conjecture que la suite est décroissante.
soit f la fonction telle que f(x)=(4x+5)/(x+3)
f’(x)=7 / (x² + 6x + 9)=7/(x+3)²
f’(x)>0 pour x différent de -3
donc f(x) est strictement croissante.
On va démontrer par récurrence que la suite est décroissante
U(n+1)= f(Un)
initialisation
U1=3, donc U1<U0
hérédité
On suppose Uk>U(k+1) et on va démontrer qu’alors U(k+1)>U(k+2)
Uk>U(k+1) donc f(Uk)>f(U(k+1)) ; car f est croissante et conserve donc l’ordre des images.
f(Uk)=U(k+1) ; f(U(k+1))=U(k+2)
donc U(k+1)>U(k+2)
La propriété est démontrée, donc la suite est décroissante.
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