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Kizumi302
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bonsoir SVP aidez moi je ne sais pas comment le faire=_=, je dois le rendre demain...

Dans un repère orthonormé (O, ⃗i , ⃗j ), on considère les points A(2 ; 4), B(-1 ; 2) et C(6;-2).
On note Ω le cercle circonscrit au triangle ABC.
1) Quelle est la nature du triangle ABC.
2) On admet le théorème suivant : « Le cercle circonscrit à un triangle rectangle admet pour
diamètre l’hypoténuse de ce triangle rectangle. »
Déterminer le centre M et le rayon r du cercle Ω.
3) Soit D(3;-4). A-t-on D∈Ω ?

Sagot :

Réponse :

Bonsoir. Trace un repère orthonormé unité 1cm ou 1 carreau .

Explications étape par étape :

1) Vu le dessin on peut conjecturer que ABC est rectangle en A.

pour le vérifier , on a  plusieurs méthodes

a) avec Pythagore  Calculer AB²+AC² et BC²  et conclure

b) avec les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC)

c) avec le produit scalaire vecAB*vecAC (prog. de 1ère)

je vais utiliser la b)

théorème: deux droites du plan sont perpendiculaires si le produit de leur coefficient directeur =-1

coefficient directeur de (AB):  a=(yB-yA)/(xB-xA)=(2-4)/(-1-2)=2/3

coefficient directeur de (AC):  a'=(yC-yA)/(xC-xA)=(-2-4)/(6-2)=-3/2

on note que le produit a*a'=-1

les droites (AB) et (AC) sont donc perpendiculaires par conséquent le triangle ABC est rectangle en A.

2)

C'est une propriété vue en 5ème : le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse.

Le centre M du cercle (oméga) est le milieu de [BC]

xM=(xB+xC)/2=(-1+6)/2=5/2  et yM=(yB+yC)/2=((2-2)/2=0   M(5/2; 0)

Rayon du cercle r=BC/2

BC=V[(xC-xB)²+(yC-yB)²]=V(7²+(-4)²)=V65   donc r=(V65)/2 u.l. (environ 4 cm sur ton repère)

3) le point D appartient au cercle (Oméga) si MD=r

calculons MD

MD=V[(xD-xM)²+(yD-yM)²]=V[(3-5/2)²+(-4-0)²]=V(1/4+16)=V(65/4)=(V65)/2

on note que MD=r donc D appartient au cercle (oméga)

l

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