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Ambre200535
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Bonsoir est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de bien vouloir m'aider pour cet exercice en math s'il vous plaît. Merci beaucoup par avance ^^

Une personne désire louer une maison à partir du 1er janvier 2023. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 12 000 euros et le locataire s’engage à occuper la maison pendant neuf années complètes.

1) Contrat 1 : le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 750 euros du loyer de l’année précédente.
On note u1 le loyer initial et un le loyer payé lors de la n^ème année.
a) Calculer les loyers payés lors de la deuxième et de la troisième année.
b) Quelle est la nature de la suite (un ) ? Justifier.
c) Pour tout entier naturel non nul n, exprimer un en fonction de n.
d) Calculer la somme totale payée à l’issue des neuf années de contrat

2) Contrat 2 : le locataire admet une augmentation annuelle de 5% du loyer de l’année précédente. On note v1 le loyer initial et vn le loyer payé lors de la n^ème année.
a) Calculer les loyers payés lors de la deuxième et de la troisième année.
b) Quelle est la nature de la suite (vn ) ? Justifier.
c) Pour tout entier naturel non nul n, exprimer vn en fonction de n.
d) Calculer la somme totale payée à l’issue des neuf années de contrat.

3) Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ? Justifier.
4) On propose ci-dessous un programme en langage Python :

u = 12000
v = 12000
n = int(input("saisir une valeur de n:"))
for i in range(n) :
u = ⋯
v = ⋯
print("pour n=",n, "on a", "u=",u, "et v=",v)

a. Recopier et compléter les pointillés.
b. Quels nombres obtiendra-t-on avec n = 4 ? Justifier.

Sagot :

NePaniquezPas

Bonjour Ambre,

Contrat 1

1.a)

[tex]u_{2} = 12000 + 750 = 12750\\u_{3} = 12750 + 750 = 13500[/tex]

1.b)  [tex](U_{n} )[/tex] est une suite arithmétique puisqu'à chaque terme, on ajoute à la valeur du terme précédent un nombre constant (ici 750, c'est la raison de la suite).

1.c) L'expression générale d'une suite arithmétique de raison r est :

• si la suite commence à [tex]n=0[/tex] ,  [tex]u_{n} = u_{0} + nr[/tex]

• si la suite commence à  [tex]n=n_0[/tex] ,  [tex]u_n = u_{n0} + (n-n_0)r[/tex]

Dans notre cas, la suite commence à n=1 (deuxième situation).

Ainsi,

[tex]u_n = u_1 + (n-1)r[/tex]

1.d) On cherche  [tex]u_1 + u_2 + ... + u_9[/tex]

D'après une formule du cours :

• si la suite commence à [tex]n=0[/tex],  [tex]u_0 + u_1 + ... + u_n = (n+1) * \frac{u_0+u_n}{2}[/tex]

• si la suite commence à [tex]n=n_0[/tex],  [tex]u_{n0} + u_1 + ... + u_n = (n-n_0+1) * \frac{u_{n0}+u_n}{2}[/tex]

Dans notre cas, la suite commence à n=1 (deuxième situation).

Ainsi,

[tex]u_1 + u_2 + ... + u_9 = u_1 * \frac{u_1+u_9}{2}\\[/tex]

Or,  [tex]u_9 = u_1 + (9-1)*r = 12000 + 8*750 = 18000[/tex]

d'où :

[tex]u_1 + u_2 + ... + u_9 = 12000 * \frac{12000+18000}{2} = 135000[/tex]

Contrat 2

2.a)

Une augmentation de 5% revient à multiplier le terme par 1.05.

[tex](a + a*\frac{5}{100} = a*\frac{105}{100} = a * 1.05 )[/tex]

[tex]v_2 = 12000 * 1.05 = 12600\\v_3 = 12600*1.05 = 13230[/tex]

2.b)  [tex](V_n)[/tex]  est une suite géométrique puisqu'à chaque terme, on multiplie la valeur du terme précédent par un nombre constant (ici 1.05, c'est la raison de la suite)

2.c) L'expression générale d'une suite géométrique de raison q est :

• si la suite commence à [tex]n=0[/tex] ,  [tex]v_{n} = v_{0} * q^{n}[/tex]

• si la suite commence à  [tex]n=n_0[/tex] ,  [tex]u_n = u_{n0} * q^{n-n_0}[/tex]

Dans notre cas, la suite commence à n=1 (deuxième situation).

Ainsi ,

[tex]v_n = v_1 * q^{n-1}[/tex]

2.d) On cherche  [tex]v_1 + v_2 + ... + v_9[/tex]

D'après une formule du cours :

• si la suite commence à [tex]n=0[/tex],  [tex]v_0 + v_1 + ... + v_n = v_0 * \frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/tex]

• si la suite commence à [tex]n=n_0[/tex],  [tex]v_{n0} + v_1 + ... + v_n = v_{n0} * \frac{1-q^n}{1-q}[/tex]

Dans notre cas, la suite commence à n=1 (deuxième situation).

Ainsi,

[tex]v_1 + v_2 + ... + v_9 = 12000 * \frac{1-1.05^9}{1-1.05} = 132 319[/tex]   (arrondi)

3) Le contrat le plus avantageux est donc le deuxième

(132 319 < 135 000)

4.a)

u = 12000

v = 12000

n = int(input("saisir une valeur de n:"))

for i in range(n-1) :

   u = u + 750

   v = v * 1.05

print("pour n=",n, "on a", "u=",u, "et v=",v)

Je me suis permis de modifier le nombre de tour de boucle car la suite commence à n=1 et non à n=0. En restant avec un nombre de tour de n, pour n=1 on aurait obtenu  [tex]u_1 = 12750[/tex] et [tex]v_1 = 12600[/tex] .

4.b)

pour n=4, on obtient (en appliquant les formules explicites) :

[tex]u_4 = 12000 + 3*750 = 14250\\\\v_4 = 12000 * 1.05^{3} = 13891[/tex]

A noter : si on n'avait pas remplacer n par n-1 dans le range, on aurait obtenu les valeurs de  [tex]u_5[/tex] et [tex]v_5[/tex].

Bonne journée

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