Réponse :
Bonsoir exercice classique d'une fonction quotient.
Explications étape par étape :
f(x)=(4x-2)/(x-5)
a) f(x) n'est pas définie pour la valeur qui annule le diviseur soit pour x=5 donc Df=R-{5}
b)limites aux bornes du Df
si x tend vers +ou-oo, les constantes -2te-5 deviennent négligeables donc f(x) tend vers 4x/x soit vers +4 après simplification par x
si x tend vers 5 (avec x<5), f(x) tend vers 18/0-=-oo
si x tend vers 5(avec x>5) f(x) tend vers18/0+=+oo
limites confirmées par lecture graphique
c) La droite d'équation y=4 est une asymptote horizontale et la droite x=5 est une asymptote verticale
d ) dérivée f(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc f'(x)=(u'v-v'u)/v²
u=4x-2 u'=4
v=x-5 v'=1
f'(x)=[4(x-5)-1(4x-2]/(x-5)²=(4x-20-4x+2)/(x-5)²=-18/(x-5)²
e) f'(x)=0 n'a pas de solution, f'(x) est toujours<0 donc f(x) est décroissante
f)Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo 5 +oo
f'(x) - II -
f(x) +4 décroît -oo II +oo décroît +4
g) Equation de la tangente au point d'abscisse x=1 on applique la formule.
y=f'(1)(x-1)+f(1)=-(9/8)(x-1)-1/2=(-9/8)x+9/8-1/2=(-9/8)x+5/8
