1ère chose , on note ce qui est connu:
OC=cosx OS=sinx MC=sinx OI=OM=1
1) (OI) et (OM) sont deux droites sécantes en T
(MC) et (TI) sont parallèles car (TI) est tangente au cercle en I donc perpendiculaire à (OI)
2 droites sécantes et 2 droites parallèles sont la condition pour utiliser Thalès
qui nous permet de dire:MC/TI=OC/OI
ou dit autrement pour nous arranger! TI/OI=MC/OC
donc TI/1=sinx/cosx=tangentex
donc TI=TGTEx
2) On voit sur le cercle que si x est compris entre 0 et pi/2 alors tous les points M associés à x ont une abscisse positive donc un cosinus positif , et une ordonnée positive donc un sinus positif donc quel que soit x tel que 0<x<pi/2 alors sinx positif et cosx positif donc sinx/cosx positif donc tgtex positive
3)le triangle OIM est inclus dans le secteur angulaire OIM inclus lui-même dans le triangleOIT
Donc aire de OIM< ou = à aire secteurOIM < ou=aire OIT
Aire du triangle OIM=OI.CM/2=1fois sinx/2=sinx/2
Aire du secteur OIM=rayon foisx/2=x/2 car le rayon=1
Aire d u triangle OIT=OI.IT/2=1fois tgtex/2=tgtex/2
Donc sinx/2 < x/2 < tgtex/2
Il y a des = sous les <
Donc sinx < x < tgtex (1)
Donc sinx cosx < xcosx < tgtex cosx
Donc sinx cosx < xcosx < sinx car tgtex=sinx/cosx
DONC L INEGALITE xcosx< sinx EST DEMONTREE
et de cette inégalité découle :
xcosx/x < sinx/x
donc cosx < sinx/x
De l'expression (1) sinx < x <tgtex découle
sinx/x < x/x
donc sinx/x <1
Donc au final de toutes ces inégalités démontrées , on a :
cosx < sinx/x < 1 TOUJOURS AVEC = SOUS LES <
Si x tend vers 0 cosx tend vers cos0 donc vers 1
Si x tend vers 0 1 tend vers 1 par définition !!!!!
Comme sinx/x est compris entre cosx et 1 qui tendent tous les deux vers 1 quand x tend vers 0 alors sinx/x tend vers 1 quand x tend vers 0
J'espère que ça ira
Bon courage:)
