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Une personne court le long d'un champ de longueur 100m; il part de A et doit se rendre le plus rapidement possible en B en coupant à travers le champ à
partir d'un point M . Sachant qu'il court à la vitesse de 6m.s-1 sur la route mais seulement à 4m.s-1 dans le champ, déterminer la position du point M permettant de réaliser ce parcours dans un temps minimal.

1. Modéliser le problème par une fonction
On pose x=AM, avec x[0;100].
Déterminer en fonction de x le temps de parcours (en secondes) sur le trajet [AM] puis celui sur le trajet [MB], et enfin le temps de parcours sur le trajet complet.
Est il possible, en l'état de vos connaissances, d'étudier de façon simple les variations de la fonction f obtenue?

Une Personne Court Le Long Dun Champ De Longueur 100m Il Part De A Et Doit Se Rendre Le Plus Rapidement Possible En B En Coupant À Travers Le Champ À Partir Du class=

Sagot :

Isapaul
Bonjour
 on donne AM = x et MC = 100 mètres on en déduit que MC = 100 - x 
D'après le théorème de Pythagore
 MB² = MC² + BC² MB² = (100 - x)² + 20² MB² = 10 000 + x² - 200x + 400 MB = √(x² - 200x + 10 400)
 comme la personne court à 6m.s-1 sur route et à 4m.s-1 à travers champ on en déduit que pour le même temps "t" il aura parcouru une distance sur route 6 mètresalors qu'il n'aura parcouru que 4 mètres à travers champs 
En mettant au même dénominateur on obtient alors AM sera parcouru en 2x/12 alors que  MB en 3√(x² - 200x + 10 400) / 12  La distance totale sera parcourue en
 t(x) = t(AM) + t(MB) t(x) = 2x/12 + 3√(x² - 200x + 10400)/12 t(x) = ( 2x + 3√(x²-200x + 10400)/12 Voir pièce jointe pour le tracé de la fonction et le tableau de valeurs pour connaitre la distance "x" correspondante au temps minimum
 Bonnes journée
View image Isapaul
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