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On considère les fonctions f et g définies sur R par f(x) = x^3+ 12 et g(x) = x^2 + 8x et Cf et Cg,
leurs courbes représentatives dans un repères orthogonal. 1.
A)Montrer que, pour tout réel x, on a : f(x) – g(x) = (x + 3)(x - 2)^2
B)Etudier les positions relatives de Cf et Cg
2. On considère les points M et N, de même abscisse x € [-3,2], M (resp. N) appartenant à Cf (resp. à Cg) comme l'illustre la figure ci-contre.
a. Exprimer la distance MN en fonction de x.
b. On pose la fonction d la distance MN définie pour tout x € [-3,2] par d(x) = (x+3)(x 2)^2. Etablir le tableau de variation de d.
c. Quelle est la distance maximale MN lorsque x décrit l'intervalle [-3;2] ? Justifier


Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

C'est bien de mettre une formule de remerciement dès le début !!

1)

a)

f(x)-g(x)=x³+12-x²-8x=x³-x²-8x+12

On développe :

(x+3)(x-2)²=(x+3)(x²-4x+4)=x³-4x²+4x+3x²-12x+12=x³-x²-8x+12

On a le même développement.

b)

Cf est en noir et Cg en rouge . OK ?

Donc f(x)-g(x) est du signe de (x+3) car (x-2)² est un carré donc toujours positif ou nul pour x=2.

x+3 > 0 ==> x > -3

x-------->-∞.................-3..............2...........+∞

f - g ----->............-.......0.......+....0.........+..........

Sur ]-∞;-3[ , f- g < 0 donc f < g et Cf au-dessous de Cg.

Sur ]-3;2[ U ]2;+∞[ , f-g > 0 donc f > g et Cf au-dessus de Cg.

En x=-3 et x=2 , points d'intersection de Cf et Cg.

2)

a)

Donc :

yM=x³+12 et yN=x²+18x

Sur [-3;2] , M est au-dessus de N d'après la question 2).

Donc :

MN=f-g=x³-x²-8x+12

b)

On sait donc que :

d(x)=(x+3)(x-2)²

Pour le tableau de variation , je ne sais pas ce que tu as vu en cours.

Je vais partir de :

d(x)=x³-x²-8x+12

Et je vais supposer que tu as vu les dérivées.

d '(x)=3x²-2x-8

d '(x) est négative entre les racines car le coeff de x² est > 0.

Δ=(-2)²-4(3)(-8)=100

√100=10

x1=(2-10)/6=-4/3

x2=(2+10)/6=2

x-------->-3..............-4/3.................2

d '(x)--->........+..........0.......-...........

d(x)----->........C........?........D..........

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

D'après ce tableau de variation , d(x) est max pour x=-4/3.

d(-4/3)=3(-4/3)³-(-4/3)²-8(-4/3)+12=...

Je te laisse faire ce long calcul !!

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