Si le mobile poursuit sa trajectoire sur la tangente en P , il faut connaître l'équation de cette tangente qui est : y=(x-a)f '(a)+f(a) ça c'est le cours
On dérive f pour connaître f ' (a)
f'(x)=0+(-1/x^2)=-1/x^2 ^2 veut dire "au carré"
Donc f ' (a)=-1/a^2
On sait que f(a)=1+1/a
Donc la tangente a pour équation : y=(x-a)(-1/a^2)+(1+1/a)
=(-1/a^2)x+(a/a^2+1+1/a)
=(-1/a^2)x + (1/a+1+1/a)
=(-1/a^2)x + (1/a+a/a+1/a)
=(-1/a^2)x +(2+a)/a
Donc la tangente a pour équation : "y=(-1/a^2)x+(2+a)/a
Si le mobile passe par A(3;0) , on remplace dans l'équation de la tangente x par 3 et y par 0
soit 0=(-3/a^2)+(2+a)/a
On met tout au même dénominateur : a^2
et ça donne : 0=(-3/a^2)+a(2+a)/a^2
0=(-3/a^2)+(2a+a^2)/a^2
0=(-3+2a+a^2)/a^2
0=(a^2+2a-3)/a^2
Donc a^2+2a-3=0 car un quotient est nul si son numérateur est nul
c'est un trinôme du second degré dont le delta=4+12=16
Donc deux solutions pour a : a1=-2-4/2=-6/2=-3
et a2=-2+4/2=2/2=1
a2 est la seule solution acceptable car a doit être positif puisque l'énoncé nous dit que la fonction est définie sur )0;+infini( donc a=1
f(1)=1+1/1=1+1=2
Donc le point cherché a pour coordonnées (1;2)
