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Eulalia
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Bonjour, j'ai besoin d'aide dans une étude de fonction :
On considère la fonction f définie sur [0; + ∞[ par f(x) = (-4x² + 8) e^ -x + 3
On appelle (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.


1- on note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0 ; + ∞[
a- démontrer que, pour tout réel x de [0 ; +∞[ on a f ' (x)= (4x² -8x-8)e ^-x
b- étudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [0 ; + ∞[
c- dresser un tableau de variation de la fonction f. En déduire le signe de f(x) sur l'intervalle [0 ; + ∞[
d- Soit A le point de C d'abscisse nulle et Ta la tangente à C en ce point. Déterminer une équation de la tangente.



Sagot :

1a) f'(x)=-8x*e^-x-(-4x²+8)e^-x=(-8x+4x²-8)e^-x=(4x²-8x-8)e^-x

1b) e^-x>0 donc le signe de f' dépend du signe de 4x²-8x-8
On cherche les racines du polynôme :
Δ=8²+4*4*8=64+128=192
√Δ=8√3
x1=(8+8√3)/8=1+√3
x2=1-√3<0
Donc f'(x)=4(x-1-√3)(x-1+√3)e^-x
x          0                    1+√3                +oo
f'(x)                 -                        +

1c)
x        0                                  1+√3                                      +oo
f(x)    11       décroissante       1,577            croissante            3
Donc f est positive sur  [0;+oo[

1d) L'équation de la tangente est de la forme y=f'(a)(x-a)+f(a)
En x=0, f'(0)=-8 et f(0)=11
Donc Ta a pour équation : y=-8x+11
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