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EXERCICE 1: La distance entre les villes de Douala à Edéa est de 60km. Deux trains partent au même instant, l'un de douala vers Edéa et l'autre de Edéa vers Douala. Après avoir parcouru 20Km, le train roulant de Douala vers Edéa fait un arrêt de 30min, puis poursuit son trajet et rencontre 4 min après, le train roulant d'Edéa vers Douala. Les deux trains arrivent à destination au même instant. Déterminer la vitesse de chaque train.​

Sagot :

Caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

Remarque préliminaire:

L'arrêt de 30 min peut se faire à n'importe quel moment

compris entre l'heure de départ et l'heure de croisement.

(penser au problème sur pont reliant deux villes séparées une rivière pour minimiser le coût de construction)

Soient

T la durée du trajet des trains.

v_1 la vitesse du train allant de Douala vers Edéa

v_2 la vitesse du train allant d'Edéa vers Douala

t le temps que roule le train 1 avant le croisement.

  • Première solution: on utilise Geogébra.
    on place un curseur durée de 0 à 2 heures par  incrément de 0.01.
    on place les points
    E (0,60), D(durée,60),
    T(durée,0), O(0,0),
    Depart(0.5,0), Min4(4/60,0)
  •        Le trajet du train 2 est [ET] celui du train 1 est [départ D]
  •        Ces 2 trajet s'intersectent en A
  •        Sur la parallèle au trajet 1 passant par l'origine O, on marque
  •        le point H d'ordonnée 20 (km).
  •        On trace le parallélogramme O Départ B H.
  •        A_4m est le point de [A Départ] situé à 4 min de A.
  • On va faire varier durée pour que B coïncide avec A_4min
  •       (
  • ==> durée=1.5 (heure))


  • Deuxième solution: on prend son courage à deux mains et on résout le système d'équations.

[tex]V_2=\dfrac{60}{T} \\\\V_1=\dfrac{120}{2T-1}\\\\t=\dfrac{20}{V_1}+\dfrac{4}{60}=\dfrac{V_1+300}{15*V_1}\\\\=\dfrac{300+\dfrac{120}{2T-1}}{15}=\dfrac{600T-300+120}{15*120}=\dfrac{40T-12}{120}\\\\\\\boxed{t=\dfrac{10T-3 }{ 30}}\\\\[/tex]

[tex]d_1=V_1*t=\dfrac{120}{2T-1}*\dfrac{10T-3}{30}\\\\=\dfrac{4*(10T-3)}{2T-1} \\\\d_2=V_2*(t+\dfrac{1}{2} )=\dfrac{60}{T} *\dfrac{2t+1}{2} \\\\=\dfrac{4*(5T+6)}{T} \\\\\\d_1+d_2=60\\\\\dfrac{4*(10T-3)}{2T-1} +\dfrac{4*(5T+6)}{T} =60\\\\10T^2-19T+6=0\ (T\neq 0\ et\ T\neq \frac{1}{2} )\\\\\Delta=19^2-4*10*6=121=11^2\\\\T=\dfrac{19+11}{20} \ ou \ T=\dfrac{19-11}{20} \\\\\boxed{T=\dfrac{3}{2} \ ou\ T=\dfrac{2}{5}}[/tex]

[tex]\begin{array}{ccccccc|c}T&V_1&V_2&t&d_1&d_2&d_1+d_2&\\&&&&&&&\\1.5&60&40&0.4&24&36&60&\\2/5&-600&150&1/30 & -20&80&60& \`a\ rejeter.&&&&&&&\\\end {array}[/tex]

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