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1. Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel non nul n,
[tex] | \sqrt{ {n}^{2} + 1 } - n | \leqslant \frac{1}{2n} [/tex]
​

Sagot :

Caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

[tex]|\sqrt{x^2+1} -n| \leq \dfrac{1}{2n}\\ \\ \Longleftrightarrow\ \boxed{-\dfrac{1}{2n}\leq \sqrt{x^2+1} -n\leq \dfrac{1}{2n}}\\\\\\1.\\\\n^2+1\geq n^2\\\\\Longrightarrow\ \sqrt{n^2+1} \geq n\\\\\Longrightarrow\ \sqrt{n^2+1} -n\geq 0 \geq -\dfrac{1}{2n} \\\\\\2.\\\\0\leq \dfrac{1}{4n^2} \\\\\Longrightarrow\ n^2+1\leq n^2+1+\dfrac{1}{4n^2}\\\\\Longrightarrow\ n^2+1\leq (n+\dfrac{1}{2n})^2\\\\\Longrightarrow\ \sqrt{n^2+1} \leq n+\dfrac{1}{2n}\\\\[/tex]

[tex]\Longrightarrow\ \boxed{\sqrt{n^2+1} -n \leq \dfrac{1}{2n}}\\[/tex]

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