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Bonsoir, j'aurais besoin d'aide , voici l'exercice ,
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O,u,v)
On désigne par A le point d'affixe -3+I et par B le point d'affixe 2I
La fonction f est définie pour tout complexe z différent de -3+I par f(z)=(z-2i)/(z+3-i)
A tout point M d'affixe z du plan, M étant distinct de A, on associe le point M' dont l'affixe z' est définie par z'=z

1) placer les point A et B
2) Résoudre dans C l'équation f(z)=-1
3) Résoudre dans C f(z)=1+i
4) soit un complexe z, tel que z différent -3+i , avec z=x+iy ou x et y sont des réel.
on note z'=f(z)=x'+iy' . Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z'
5) Déterminer l'ensemble E des points M(z) du plan tels que f(z) soit réel. Tracer E
6) Déterminer l'ensemble F des points M(z) du plan tels que f(z) soit un imaginaire pur.Tracer F

J'ai fais les 3 premières questions mais après je bloque, pouvez me venir en aide ??

( petite question à part sur un autre exercice , on me demande de : Déterminer les nombres a, et b tels que , pour tout nombre complexe z : f(z)=(z-2i)(z²+az+b) , il suffit de développer mais après je ne m'en sors pas .... )

Sagot :

z' =(z-2i)/(z+3-i)
=(x+yi-2i)/(x+yi+3-i)
=(x+i(y-2))/(x+3)+i(y-1)

On va multiplier le numérateur et le dénominateur par (x+3)-i(y-1)
z'=(x+iy-2i)(x+3-iy+i)/(x+3)^2+(y-1)^2
=(x+iy-2i)(x+3-iy+i)/x^2+6x+9+y^2-2y+1
=(x+iy-2i)(x+3-iy+i)/x^2+y^2+6x-2y+10

Il faut développer : (x+iy-2i)(x+3-iy+i)
Je trouve : (x^2+y^2+3x-3y+2)+i(-x+3y-6)

Donc z'=(x^2+y^2+3x-3y+2)/x^2+y^2+6x-2y+10 + i(-x+3y-6)/x^2+y^2+6x-2y+10
5) On veut que f(z)=z' soit réel
CECI VEUT DIRE QUE LA PARTIE IMAGINAIRE DE z'=0
Donc -x+3y-6=0    C'est l'équation d'une droite dont l'équation réduite est
y=x/3+2

6)On veut z' est un imaginaire pur donc la partie réelle de z'=0
Donc x^2+y^2+3x-3y+2=0
C'est l'équation du cercle de centre le point de coordonnées(-3/2;3/2) et de rayon 5/2


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