Salut !
Ma réponse précédente ayant été supprimée parce que je ne donne pas les réponses directement (??) je t’en refais une en suivant les règles du jeu (même si je suis persuadé que pour quelqu’un de ton niveau, des aides/indications sont largement préférables…
1) (1,X,X2,X3) est une base de R3[X] donc dim(R3[X]) = 4
2) La dérivation est linéaire, donc D est linéaire.
3) Je vais essayer d’écrire une matrice à l’écrit…
| 0 1 0 0 |
| 0 0 2 0 |
| 0 0 0 3 |
| 0 0 0 0 |
4) (1,X,X2,X3) est une base de R3[X]
donc (D(1), D(X), D(X2), D(X3)) est génératrice dans Im(D) donc (1,X,X2) est génératrice dans Im(D) et libre (car c’est une famille échelonnée en degré). Donc c’est une base. Et donc dim(Im(D)) = 3 < 4 donc D n’est pas surjective.
5) Ker(D) = (1) donc dim(Ker(D)) = 1
Ker(D) ≠(0) donc D n’est pas injective
6) D n’est ni injective ni surjective donc D n’est pas un isomorphisme.
Voila !
