Réponse :
Déterminez la distance séparant la droite r et le point A
r=y=-2x-5
A(-1;3)
a) Déterminez l'équation de la droite t perpendiculaire à r et passant par A.
t a pour équation y = m x + p
r ⊥ t ⇔ a * m = - 1 ⇔ - 2 * m = - 1 ⇔ m = 1/2
A(- 1 ; 3) ∈ t ⇔ 3 = 1/2)*(- 1) + p ⇔ 3 + 1/2 = p ⇔ p = 7/2
donc l'équation de la droite t perpendiculaire à la droite r est :
y = 1/2) x + 7/2
b) Déterminez les coordonnées du pied de la perdpendiculaire t sur la droite r. Ce point est l'intersection de r et t.
r : y = - 2 x - 5
t : y = 1/2) x + 7/2
⇔ 1/2) x + 7/2 = - 2 x - 5 ⇔ 1/2) x + 2 x = - 5 - 7/2
⇔ 5/2) x = - 17/2 ⇔ x = - 17/5
y = - 2*(- 17/5) - 5 = 34/5 - 5 = 9/5
donc les coordonnées du point H intersection de r et r sont :
H(- 17/5 ; 9/5)
) Calculez la distance entre la droite r et le point A.
vec(AH) = (- 17/5 + 1 ; 9/5 - 3) = (- 12/5 ; - 6/5)
⇒ AH² = (- 12/5)² + (- 6/5)² = 144/25 + 36/25 = 180/25
⇒ AH = √(180/25) = 6√5)/5
Explications étape par étape :