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Réponse :
Bonjour
A = n⁴ - 1
A = (n²)² - 1² = (n² - 1)(n² + 1) (identité remarquable : a² - b² = (a + b)(a - b))
A = (n² - 1²)(n² + 1) = (n - 1)(n + 1)(n² + 1) (même identité remarquable utilisée pour factoriser le premier terme)
Au final , on a donc A = (n - 1)(n + 1)(n² + 1)
Donc n - 1 , n +1 et n² + 1 sont bien des diviseurs de A
Réponse :
n désigne un nombre entier naturel n ≥ 2, on
pose:
A = n**4 -1.
Démontrer que n−1, n+1, n²+1 sont des diviseurs
de A.
(n - 1) divise A ⇔ A = k x (n - 1) avec k entier
A = n⁴ - 1 = (n² - 1)(n²+1) = (n + 1)(n - 1)(n² + 1)
A = k x (n - 1) avec k = (n + 1)(n² + 1) ∈ N
n+1 divise A ⇔ A = k' x (n + 1) avec k' = (n - 1)(n² + 1) ∈ N et n ≥ 2
n² + 1 divise A ⇔ A = k' x (n² + 1) avec k" = (n - 1)(n+1) ∈ N ; n ≥ 2
Explications étape par étape :