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Sagot :
Réponse :
CALC Soit (u) la suite définie par u = 1,8 et pour
2
92
tout entier naturel n, un+1
3-un
1. Démontrer par récurrence que cette suite est bornée par
1 et 2. ⇔ 1 ≤ un ≤ 2
P : 1 ≤ un ≤ 2
* initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie
1 ≤ u0 = 1.8 ≤ 2 donc P(0) est vraie
* hérédité : supposons que pour un entier n; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie
1 ≤ un ≤ 2 ⇔ - 1 ≥ - un ≥ - 2 ⇔ - 2 ≤ - un ≤ - 1
⇔ - 2 + 3 ≤ -un + 3 ≤ - 1+3 ⇔ 1 ≤ 3 - un ≤ 2 ⇔ 1 ≤ un+1 ≤ 2
donc P(n+1) est vraie
* conclusion : pour n = 0; P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n, donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
2. Démontrer par récurrence que la suite (un) est décroissante.
un+1 ≤ un
P : un+1 ≤ un
* initialisation : vérifions que pour n = 0; P(0)
3 - u0 ≤ u0 ⇔ 3 - 1.8 ≤ 1.8 ⇔ 1.2 ≤ 1.8 donc P(0) est vraie
* hérédité : supposons que pour un entier n; P(n) est vraie et montrons
que P(n+1) est vraie c'est à dire il faut montrer que un+2 ≤ un+1
un+1 ≤ un ⇔ 3 - un ≤ un ⇔ - 3 + (3 - un) ≤ un - 3
⇔ - [3 - (3 - un)] ≤ - 3 + un
⇔ - [3 - (3 - un)] ≤ - (3 - un) ⇔ [3 - (3 - un)] ≤ (3 - un)
⇔ 3 - un+1 ≤ un+1 ⇔ un+2 ≤ un+1 donc P(n) est vraie
conclusion : pour n = 0 ; P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
3. Conclure quant à la convergence de la suite (un).
puisque (un) est décroissante et bornée donc la suite (un) est convergente sa limite en + ∞ un = l ≤ 2
4. Conjecturer avec une calculatrice la limite de la suite (u).
Explications étape par étape :
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