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j'ai besoin d'une réponse s'il vous plaît pour demain ,​

Jai Besoin Dune Réponse Sil Vous Plaît Pour Demain class=

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

1) Si x= b

on a [tex]b=\frac{a+b\sqrt{2} }{\sqrt{2} +1}[/tex]     soit [tex]b*( \sqrt{2} +1) = a + b\sqrt{2}[/tex]    soit    [tex]b\sqrt{2} +b = a +b\sqrt{2}[/tex]

et donc en simplifiant par b[tex]\sqrt{2}[/tex]   on obtient a = b or par hypothèses a ≠ b

2) Si x ∈ Q  alors il existe deux entiers m et n premiers entre eux tels que x = m/n

[tex]\frac{m}{n} =\frac{a + b\sqrt{2} }{\sqrt{2}+1 }[/tex]       on fait le produit en croix

[tex]m*(\sqrt{2} +1) = n * ( a +b \sqrt{2} )[/tex]

[tex]m\sqrt{2} + m = n* a + nb\sqrt{2}[/tex]

( m - nb) [tex]\sqrt{2}[/tex]     =        na -m

m - nb est un rationnel Car  m  et n sont entiers et b est rationnel

donc ( m - nb) [tex]\sqrt{2}[/tex] n'appartient pas à Q car [tex]\sqrt{2}[/tex] n'appartient pas à Q

na - m  est un rationnel Car  m  et n sont entiers et b est rationnel

Un rationnel ne peut être égal à un irrationnel

( m - nb) [tex]\sqrt{2}[/tex]     =        na -m

      ∉ Q                       ∈Q       contradiction