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102
%
TABLEUR
Soit n un entier naturel non nul. On pose A = "
n+1
et B = n+1
n
1. Démontrer que A < 1 2. On a construit la feuille de calcul suivante.

a. Quelle formule a-t-on pu entrer dans la cellule
E2 pour ensuite l'étirer vers le bas ?
b. Conjecturer lequel des deux nombres A e B
est le plus proche de 1 pour tout entier nature+
c. Démontrer cette conjecture.

102 TABLEUR Soit N Un Entier Naturel Non Nul On Pose A N1 Et B N1 N 1 Démontrer Que A Lt 1 2 On A Construit La Feuille De Calcul Suivante A Quelle Formule Aton class=

Sagot :

Caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

1. Démontrer que A < 1 < B

[tex]A=\dfrac{n}{n+1} \\\\B=\dfrac{n+1}{n} \\\\n < n+1\ \Longrightarrow \ \\\\\blacktriangleright\ \dfrac{n}{n+1} < 1 \Longrightarrow \ A < 1 \\\\\blacktriangleright\ 1 < \dfrac{n+1}{n} \Longrightarrow \ 1 < B \\\\\\\Longrightarrow \ \boxed{A < 1 < B}\\\\\\[/tex]

a)

pour E2: 1-C2

pour F2: D2-1

b)

Conjecture: 1-A < B-1

c)

[tex]1-A=1-\dfrac{n}{n+1} =\dfrac{n+1-n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\\\\B-1=\dfrac{n+1}{n}-1=\dfrac{n+1-n}{n}=\dfrac{1}{n}\\\\n < n+1\\\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \\-\frac{1}{n+1} > -\frac{1}{n} \\\\1-\frac{1}{n+1} > 1-\frac{1}{n} \\\\1-\frac{1}{n} < 1-\frac{1}{n+1} \\\\\\\boxed{1-A < B-1}\\[/tex]

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