Salut,
pour cet exercice tu dois travailler sur une formule qui va te donner le volume du réservoir en fonction de h.
Comme il s'agit d'un réservoir circulaire, la formule est simple : le volume est l'aire du disque multiplié par la hauteur de réservoir. Mais comme l'aire du disque change en fonction de h (de manière discontinue) il va falloir changer de formule aux points de discontinuité du réservoir (c a d pour h=2m et h=4m).
Si on calcule l'aire du disque on a :
[tex]A_{disque}= \pi \frac{D^2}{4} [/tex] où D est le diamètre du réservoir qui va changer (4m puis 6m puis 8m).
1°) Pour cette question, nous n'avons besoin que d'une seule formule pour le volume du réservoir car le remplissage ne se fait que jusqu'à 2m (et le diamètre du réservoir et toujours le même pour h < 2m).
La section est donc [tex]A_{disque}= \pi \frac{4^2}{4} = 4 \pi [/tex] ce qui donne environ 12.57m². Le volume est donc 12.57*h=25.14m³ . Comme le débit de remplissage est de 1m³/h, on voit directement qu'il faudra 25.14 heures pour remplir le réservoir.
Cela nous donne 25heures + 0.14*60 minutes ce qui donne : 12h08min environ.
2°) Pour cette question, on doit considérer le changement de diamètre du réservoir. Mais comme on a déjà calculé le temps nécessaire pour le remplir de 0 à 2m, il nous suffit de calculer la durée pour le remplir seulement de 2m à 4m et de l'additionner au précédent résultat. On peut faire cela car le débit de remplissage ne change pas.
La section du réservoir dans cette partie est : [tex]A_{disque}= \pi \frac{6^2}{4} = 9 \pi [/tex] soit environ 28.27m². Donc le volume supplémentaire à remplir est 28.27*h = 56.54m³. Il faut donc 56.54heures pour remplir cette partie soit 56heures et 0.54*60 minutes ce qui donne : 56h32min environ.
On ajoute ce résultat au précédent et on obtient que le remplissage du réservoir de 0 à 4m de hauteur se fait en 68h40min environ.
3°) Pour le remplir entièrement on répète le processus de la question 2° :
La section du réservoir dans cette dernière partie est : [tex]A_{disque}= \pi \frac{8^2}{4} = 16 \pi [/tex] soit environ 50.27m². Le volume est donc 100.54m³ et il faut 100.54heures pour remplir la dernière partie.
Au total il faut donc 182.22heures pour remplir le réservoir en entier. Cela donne 182heures et 0.22*60 minutes soit : 182h13minutes.
Dans l'exercice 2 il faut étudier la fonction de la hauteur de remplissage en fonction du temps. Dans les tâches précédentes nous avons fait l'inverse puisque nous avons calculé le temps de remplissage en nous donnant des hauteurs de remplissage.
a) Pour h compris entre 0 et 2, il faut se ramener à notre étude dans le 1°), on a montré que l'aire du disque était [tex]4\pi [/tex] et donc que le volume était [tex]4\pi h [/tex] et comme le débit est fixe et égale à 1m³/h, on a direct correspondance entre le volume et le temps de remplissage en heure.
Donc le temps de remplissage est bien [tex]4\pi h [/tex] pour h compris entre 0 et 2.
b)Si h est compris entre 0 et 2, alors t est compris entre 0 et [tex]8\pi[/tex].
On peut maintenant inverser la relation : [tex]t = 4\pi h [/tex] pour exprimer h en fonction de t : [tex]h = \frac{t}{4 \pi} [/tex] pour t compris entre 0 et [tex]8\pi[/tex]
c) Pour la suite, on utilise le même raisonnement.
On a montré précédemment que le volume dans la deuxième partie était [tex]9\pi h [/tex]. Donc on a [tex]t= 9\pi h [/tex] pour la deuxième partie seulement !
D'après la partie précédente, on bascule dans la deuxième partie de réservoir lorsque [tex]t=8\pi[/tex] donc il faut ramener l'expression à ce temps.
Il en est de même pour h où on bascule en deuxième partie lorsque h=2.
Donc pour t et h en général, l'expression devient :
[tex]t-8\pi= 9\pi (h-2) [/tex] pour h compris entre 2 et 4.
d) Lorsqu'on prend les valeurs limites de h (2 et 4) on a :
[tex]t-8\pi= 9\pi (2-2)=0 [/tex] donc [tex]t=8\pi [/tex]
et
[tex]t-8\pi= 9\pi (4-2)=18\pi [/tex] donc tex]t=26\pi [/tex]
Il nous suffit maintenant de renverser la formule pour obtenir l'expression de h :
[tex]t-8\pi= 9\pi (h-2)[/tex] donne [tex]h = \frac{t-8\pi}{9 \pi} + 2 [/tex]
Donc pour t compris entre [tex]8\pi [/tex] et [tex]26\pi [/tex] on a f(t)= [tex]\frac{t-8\pi}{9 \pi} + 2 [/tex].
Voilà, si tu as d'autres questions ou que tu n'as pas compris qqchose, n'hésite pas
