La droite (d) a pour équation y=ax+b. Comme elle passe par A(0;1) on en déduit que b=1
Donc (d) : y=ax+1
Le point M du cercle vérifie x²+y²=1 soit y²=1-x²
Comme M est aussi sur (d) on a : (ax+1)²=1-x²
Soit a²x²+2ax+1=1-x² ⇔ a²x²+x²+2ax=0
⇔x(a²x+x+2a)=0
si x=0, on retrouve le point A
Donc le point M est tel que a²x+x+2a=0 soit x=-2a/(a²+1)
donc y=-2a²/(a²+1)+1=(-2a²+a²+1)/(a²+1)=(1-a²)/(a²+1)
On a donc OA=1, ON=2a/(a²+1) (c'est une longueur donc c'est IxI)
MN=y=(1-a²)/(a²+1)
L'aire du trapèze OAMN=1/2*(OA+MN)*ON
AireOAMN=1/2*(1+(1-a²)/(a²+1))x2a/(a²+1)=(a²+1+1-a²)a/(a²+1)²
AireOAMN=2a/(a²+1)²
Tu notes f(a)=2a/(a²+1)²
Et tu dérives f'(a)=[2(a²+1)²-2a*2a*2(a²+1)]/(a²+1)^4
f'(a)=(2a^4+4a²+2-8a^4-8a²)/(a²+1)^4=(-6a^4-4a²+2)/(a²+1)^4
f'(a)=0 ⇔ -6a^4-4a²+2=0
On pose x=a²
L'équation devient -6x²-4x+2=0
Δ=16+4*6*2=16+48=64
√Δ=8
Donc x1=(4+8)/(-12)=-1 ou x2=(4-8)/(-12)=1/3
x1 n'est pas possible car x est >0 donc x=1/3 et a=1/√3
Donc l'aire est maximal pour a=1/√3=√3/3
