20 cm = 2 dm
On sait que 2*x*y=1 dm³
Donc y=1/2x
La surface de carton est donnée par : 2*2*x+2*2*y+2*x*y=4x+2/x+1
Notons f(x)=4x+2/x+1 Cette fonction est définie sur IR+*
On dérive : f'(x)=4-2/x²
f'(x)=0 ⇔ 4=2/x² ⇔ x²=1/2 ⇔ x=1/√2=√2/2
On a donc :
x 0 √2/2 +oo
f'(x) II - 0 +
f(x) II+oo décroissante (4√2+1) croissante +oo
Donc la surface de carton est minimale pour x=√2/2
Soit y=1/(2√2/2)=√2/2=x
La plus petite surface de carton est obtenue pour une base carré de côté √2/2
