B = x² + 2x + 1 = (x+1)²
si x = -1, A = x⁴ -x³ - 4 x² + 2 = 1 + 1 - 4 + 2 = 0.
Donc, (x+1) est un facteur du "A".
A= (x+1) (x³ -2 x² -2 x + 2)
(x+1) n'est pas un facteur de (x³ - 2x² - 2x +2).
Donc, (x+1) le facteur commun pour A et B. PGCD(A;B) = (x+1)
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2)
A * U + B * V = P
(x+1)(x³ -2 x² - 2x + 2)* U + (x+1)² * V = (x+1)
soit (x+1) ≠ 0, U (x³ - 2 x² - 2 x + 2) + (x + 1) V = 1
On peut choisir une expression polynomiale pour U de degre "n" en x , et une expression polynomial de degre (n+2) en x.
soit U = a et V = p x² + q x + r (une couple le plus simple)
(a+p ) x³ + (-2a+q+p ) x² + (-2a+r+q ) x + (2a+r ) = 1
a + p = 0, r + 2a = 1, -2a + p + q = 0, -2a + q + r = 0
=> p = -a, r = 1 - a, q = 3a , r = -a
=> a = 1, p = -1, q = 3 , r = -1
U = 1 , V = -x² + 3 x - 1
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3)
calculer A/PGCD(A;B) = x³ -2x² -2x +2
et B/PGCD(A;B) = (x+1)
U_k = U + k * B/PGCD(A;B) et V_k = V - k * A/PGCD(A;B)
pour k = un nombre entier (negatif ou positif ou 0)
Donc,
x+1 = (x⁴ - x³ -4x² +2) [1 + k * (x+1)] + (x+1)² [(-x²+3x-1) - k * (x³-2x²-2x+2) ]
verification:
diviser l'equation au dessus par (x+1)
1 = (x³-2x²-2x+2) [ 1 + k * (x+1)] + (x+1)* [(-x²+3x-1) - k * (x³-2x²-2x+2)]
= (x³-2x²-2x+2) [ 1 + k (x+1) - k (x+1) ] + (x+1) (-x²+3x-1)
= 1
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On peut trouver beaucoup des fonctions polynomiales U et V de degre n >= 0, qui satisfont l'equation : A U + B V = PGCD(A;B)
un exemple: U = a_0 + (a_0 - 1) x (degre du polynome = 1)
et V = (1-a_0) x³ + (2 a_0-3) x² (1+2a_0) x + (1 -2 a_0)
ou a_0 = un nombre reel.
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un autre exemple : le degre du U = 2
U = (1-a_0+a_1) x² + a_1 x + a_0 , et
V =(a_0 -a_1-1) x⁴+(3-3 a_0+2 a_1) x³+(2a_1 -1)x²+(4a_0-2a_1-1)x +(1-2 a_0)
