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MichaelS
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Soit T l’application du plan qui envoie le point M d’affixe z sur le point M' d’affixe
f(z) = (1 + i)z + 1. On note A le point d’affixe zA = 1 − i et A' l’image de A par T.

1)Résoudre l’équation f(z) = z. En déduire que T a un unique point fixe, noté F.

2) Montrer que le cercle de centre C et de rayon R est l’ensemble des points d’affixes dans {[tex]c+Re^{it}|t\in \mathbb{R}[/tex]} où c est l'affixe du point C

3) Déterminer l’image par T du cercle de centre A et de rayon √2

4) Calculer FM'/FM et l'angle ([tex]\vec{FM};\vec{FM'}[/tex]). En déduire la nature de T

Sagot :

Kvnmurty
soit M = (x, y)  d'affixe    z = zM = x + i y.      et       | z | = √(x²+y²)
T : la transformation de z par la fonction f(z) = (1+i) z + 1.
L'image du M(x,y) par T ou l'image de l'affixe Z par f:
   z' = zM' = f(z) = (1+i) (x+ iy) + 1 = (x -y+1) + i (x+y)
   | zM' | = √[ (x-y+1)²+(x+y)² ] = √[2x²+2y²+2x-2y+1] =√ [2(x+1/2)²+2(y-1/2)² ]
   L'image du M par T :   M' = [ x-y+1,  x+y ]
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le point A :
 zA = 1 - i.    A = (1, -1)      L'image A' du A par T : [ 1-1+1, 1-1 ] = [1. 0 ]
           A' = (1, 0)   et   zA' = 1
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1)  le point F :
     f (z) = z    = >       (1 + i) z + 1 = z      =>       z + i z + 1 = z 
     i z + 1 = 0  ,  multiplier par  i :    =>         - z + i = 0    =>  z = i
     F = 0 + 1 i    ou    (0, 1)  -- L'image du  F par  T  est  lui meme.
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2)  l'equation du cercle du Centre C = (Xc, Yc)  et de Rayon R est
   (x-Xc)² + (y-Yc)² = R²  => cette equation est l'ensemble des points sur le cercle.
     C = (Xc , Yc)  de l'affixe  c = zC = Xc + i Yc   
     soit zH = c + R e^{it}  = Xc + i Yc + R [ Cos t + i Sin t ]
                 = (Xc+R Cos t)+ i (Yc + R Sin t)
      H = [ Xc+R Cos t , Yc+R Sin t] =  [x1 , y1]
         Ici  la parametre est  "t".  Eliminer le.
           (x1 - Xc)² + (y1 - Yc)² = R² Cos² t + R² Sin² t = R²
     le point H est sur le cercle de centre (Xc, Yc) et de rayon R.
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3)
A = (1, -1)  zA = 1 - i  , l'image par  T:   A' =(1,0)  ,   zA' = 1
     l'ensemble des points sur le cercle de centre A et de rayon √2 est:
       H = { zA + √2 e^{it} }      ou       H = [ 1+√2 Cos t, -1+√2 Sin t ]
  H' = l'image par T du H: [1+√2Cos t - (-1+√2 Sin t) + 1,  1+√2 Cos t -1+√2 Sin t ]
     H'  = [ 3 + √2 (Cos t - Sin t), √2(Cos t + Sin t) ]
     zH' = [3+√2(Cos t - Sin t)] + i √2(Cos t + SIn t)
     Soit   H' = (x', y')   et  zH' = x' + i y'
       (x' - 3)² +  (y' - 0)² = 2 (Cos t - Sin t)² + 2 (Cos t + Sin t)² = 4 = 2²
    Donc,  c'est le cercle de centre (3, 0) d'affixe (3+0i)  et le rayon 2.
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4)
F = (0, 1),    zF = 0+1 i ,      M = (x,y)  et  zM = x+i y
M' = (x-y+1, x+y) ,     zM' = (x-y+1) + i (x+y)

[tex]FM' = \sqrt{(x-y+1-0)^2+(x+y-1)^2}=\sqrt2 \times \sqrt{x^2+y^2+1-2y}\\=\sqrt2*\sqrt{x^2+(y-1)^2}\\\\FM=\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}\\\\DOnc,\la\ rapport\ \frac{FM'}{FM}=\sqrt2\\\\[/tex]


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