1a) a/b=√2
Donc (a/b)²=2 soit a²/b²=2 et a²=2b²
1b) D'après l'exercice 1) le carré d'un nombre impaire est toujours impair. Or 2b² est un nombre pair (c'est un multiple de 2). Donc a n'est pas impair.
Donc a est pair
2a) a=2c donc a²=(2c)²=4c²
Or a²=2b² donc 2b²=4c² soit b²=2c²
2b) Selon le même raisonnement qu'un 1b, b est pair.
3a) Donc b peut s'écrire b=2d
Donc le PGCD de a et b est au moins 2. a et b ne sont pas premiers entre eux donc la fraction a/b n'est pas irréductible ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de départ à savoir que a/b est irréductible.
3b) Supposer que √2 est rationnel conduit à une contradiction, donc √2 n'est pas rationnel.
