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Bonjour,
On considère les fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] définies sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par :
On note [tex]C_{f}[/tex] et [tex]C_{g}[/tex] les courbes respectivement de [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex].
1) On note [tex]I[/tex] le point d'intersection des droites.
Si le point appartient aux droites, ses coordonnées vérifient l'équation suivante :
[tex]f(x)=g(x)[/tex]
⇔ [tex]-x^{2} =x^{2} -4x+2[/tex]
⇔ [tex]2x^{2} -4x+2=0[/tex]
Ce polynôme du second degré a pour discriminant :
[tex]\Delta=(-4)^{2}-4\times 2\times 2=0[/tex]
Comme [tex]\Delta=0[/tex], ce polynôme admet une unique racine :
[tex]x_{0}=\dfrac{4 }{4}= 1[/tex]
Ainsi, on a : [tex]I(1;f(1))[/tex] avec [tex]f(1)=-1^{2}=-1[/tex].
D'où [tex]I(1;-1)[/tex]
2) On sait que les tangentes à [tex]C_{f}[/tex] et [tex]C_{g}[/tex], au point d'abscisse 1, ont pour expression :
[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)[/tex] et [tex]y=g'(1)(x-1)+g(1)[/tex]
On détermine alors les dérivées :
On calcule :
Et on sait que : [tex]f(1)=g(1)=-1[/tex]
Ainsi, on a, d'une part :
[tex]y=-2(x-1)+(-1)[/tex]
[tex]y=-2x+2-1[/tex]
[tex]y=-2x+1[/tex]
D'autre part :
[tex]y=-2(x-1)+(-1)[/tex]
soit : [tex]y=-2x+1[/tex]
On retrouve bien les mêmes équations de tangente en leur point d'intersection [tex]I[/tex].
En espérant t'avoir aidé.
