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Cerbère
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on considère la fonction f définie pour tout x, par f(x) =6x² -2x -4
1) démontrer que, pour tout réel x, on a : f(x) =2(x-1)(3x+2)
2) résoudre l'équation f(x) = 0
3) résoudre l'inéquation f(x) < 0 en utilisant tableau de signes
4) résoudre l'inéquation f'x) _> -4 en utilisant tableau de signes

Signe graphique de ax+b
1) en utilisant graphique ci-contre écrire tableau de signe de chaque fonction affine représentée
2)chaque droite est la représentation graphique d'une des fonctions définies par les expressions suivantes : f(x)= -1 g(x) = -4/3x + 2/3x h(x) =2/3x + 2 Associer chaque droite à la fonction qu'elle représente
3)Ecrire le tableau de signe de chacune des trois fonctions
4) En utilisant la question 3) résoudre l'inéquation (- 4/3x + 2/3)(2/3x + 2) _< 0

Sagot :

Kvnmurty
1)     f(x) = 6 x² - 2 x - 4 = 2 (3 x² - x - 2) = 2 (3 x² - 3x + 2 x - 2)
         = 2 [ 3x (x - 1) + 2 ( x - 1) ] = 2 (3x + 2) (x - 1) 
2)   f (x) = 0 = 2 * 3* (x + 2/3) ( x - 1) 
         x +2/3 = 0,   =>  x = -2/3    ,    x = 1

3)     f(x) =  2 * 3 * (x + 2/3) ( x - 1 )  < 0    
         (entre les deux racines -2/3 et 1 ,  la fonction est moins de 0.
   x       -∞           -2/3               1             ∞
  f(x)          +ve      0      -ve     0    +ve

      f(x)  ≥  - 4 
      6 x² - 2 x - 4 ≥ - 4     =>   6 x² - 2 x   ≥   0
       2  ( x ) 3 (  x - 1/3 ) ≥  0

        x      -∞             0             1/3                ∞
     f(x)            +ve     0     -ve     0         +ve
 
         f(x) ≥ - 4 ,   pour x ∈ ]-∞ ; 0]  U  [1/3  ;   ∞[

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signe graphique   a x + b

1)    f(x) = a x + b  = a ( x + b/a),      a ≠ 0
             pour   x ∈  ]-∞ ;  -b/a [    ,   f(x)  < 0   negative
                    x = -b/a,   f(x) = 0
             pour  x ∈   ] -b/a  ;  ∞ [ 
===================
2 )   f(x) = -1  ,  la droite   est  parallele a l'axe d'abscisses
      f(x) = -4/3 x + 2/3      descend vers la droite
      f(x) = 2/3 x + 2 ,     monte  vers la droite.
===========================
   (- 4/3 x + 2/3 )  ( 2/3 x + 2 ) ≤ 0
       -4/3 x + 2/3  ≤  0  pour x ≥ 1/2
                          ≥ 0   pour  x ≤ 1/2
     2/3 x + 2   ≤ 0,   pour  x ≤ -1/3
                       ≥ 0,   pour   x ≥ -1/3

Donc,  (-4/3 x + 2/3) ( 2/3 x + 2)  ≤  0  , 
       quand  (-4/3 x + 2/3)  ≥ 0   et   (2/3 x + 2) ≤ 0,   =>    x ≤ -1/3
et  
       quand  (-4/3 x + 2/3) ≤ 0   et   (2/3 x + 2) ≥ 0,   =>    x ≥ 1/2 


faites le tableau avec les info au dessus.

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