Bonjour,
la fonction définie sur IR+ telle que pour tout x positif on associe
[tex]f(x)=ln(1+x)[/tex]
est une fonction concave, sa dérivée seconde est négative.
Donc son graphe se situe en dessous de ses tangentes
or la tangente en 0 a pour équation
[tex]y-ln(1+0)=\dfrac{1}{1+0}(x-0)\\\\y=x[/tex]
donc pour tout x positif
[tex]ln(1+x)\leq x[/tex]
Si tu n'as pas vu la convexité, tu peux faire simplement l'étude de f(x)-x pour montrer cette égalité.
Et alors pour
[tex]x=\dfrac1{n}[/tex]
[tex]ln(1+\dfrac1{n})\leq \dfrac1{n}\\\\\Leftrightarrow nln(1+\dfrac1{n})\leq 1\\\\ \Leftrightarrow exp(nln(1+\dfrac1{n})) \leq exp(1)\\\\\Leftrightarrow (1+\dfrac1{n})^n \leq e[/tex]
car la fonction exponentielle est croissante.
Merci
