147 Flocon de Von Koch Le flocon de Von Koch est une figure qui se construit à partir d'un triangle équilatéral de côté 1 cm. A chaque étape : •on divise chaque segment en trois segments de même longueur; • sur chaque côté, on construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment du milieu et dont le troisième sommet se trouve à l'extérieur de la figure initiale. On note p le périmètre du flocon à l'étapen et a l'aire du flocon à l'étape n. Etape 0 Etape 1 1. On considère un triangle équilatéral de côté c Exprimer, en fonction de c, le périmètre du triangle et l'aire du triangle. 2. Déterminer la valeur de p et a. 3. En justifiant, déterminer, en fonction de n, le nombre de côtés du polygone qui correspond au flocon à l'étapen et la longueur de chaque côté. 4. En déduire l'expression de p en fonction de n. 5. Étudier les variations de la suite (p.). 6. Conjecturer la limite de la suite (p.). 7. On veut maintenant déterminer l'expression de a en fonction de n. a) On note u le nombre de nouveaux triangles équilatéraux construits à l'étape n. Exprimer u, en fonction de n. b) On note v l'aire d'un nouveau triangle équilatéral construit à l'étape n. Exprimer v, en fonction de n. c) On a alors a, = a +u, xv₁++u₂xV En déduire l'expression de a en fonction de n. d) Conjecturer la limite de la suite (a).​