Exercice 3.
1. a. Soit HE la hauteur du triangle équilatéral ABE. H est le milieu de [AB] donc le triangle BEH est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore :
EB² = EH² + HB²
Dans le repère (A,vec(AB);vec(AD))
AB = 1
et H est le milieu de AB donc HB = 1/2
Le triangle AEB est équilatéral donc AE = EB = AB = 1
donc
1² = EH² + (1/2)²
EH² = 1-1/4
EH² = 4/4 -1/4
EH² = 3/4
d'où
EH = V(3/4) = V3/2
Soit GE la hauteur du triangle équilatéral BCF. G est le milieu de [CB] donc le triangle BFG est rectangle en G donc d'après le théorème de Pythagore :
BF² = BG² + GF²
Dans le repère (A,vec(AB);vec(AD))
AD = 1 donc BC = 1
et G est le milieu de BC donc BG = 1/2
Le triangle BFG est équilatéral donc CF = BF = BC = 1
donc
1² = (1/2)² + GF²
GF² = 1-1/4
GF² = 4/4 -1/4
GF² = 3/4
d'où
GF = V(3/4) = V3/2
Les hauteurs des triangles équilatéraux est égale à V3/2
b. xe = 1/2 et ye = V3/2
donc E a pour coordonnées (1/2;V3/2)
xf = 1+V3/2 = (2+V3)/2 et yf = 1/2
donc F a pour coordonnées ((2+V3)/2 ; 1/2)
c. Les poins D, E et F sont alignés si et seulement si vec(DE) et vec(DF) sont colinéaires.
Dans le repère (A,vec(AB);vec(AD)) : coordonnées de D(0;1)
Rappel du calcul des coordonnées d'un vecteur (AB) (xb-xa ; yb-ya)
Calcul des coordonnées vec(DE)
(1/2-0 ; v3/2-1) = (1/2 ; (V3-2)/2)
Calcul des coordonnées vec(DF)
((2+V3)/2-0 ; 1/2-1) = ((V3+2)/2 ; -1/2)
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si :
xy' - x'y = 0
xde Ydf - xdf yde = 1/2*-1/2 - (V3-2)/2 * (V3+2)/2 = -1/4 - (V3² - 2²)/4
xde Ydf - xdf yde = -1/4 - (3-4)/4 = -1/4 -(-1)/4 = -1/4+1/4
xde Ydf - xdf yde = 0
Les vecteurs DE et DF sont colinéaires donc les points D, E et F sont alignés.
