Pour déterminer les signes d'une fonction f(x), on détermine les racines de l'équation: f(x) = 0. Si x est entre les valeurs des racines, la valeur de la fonction f(x) est négatif. Si x est dehors de l'ensemble des valeurs entre les racines, alors f(x) est positif. Si x est égale a l'une de racines , la valeur de la fonction f(x) = 0.
Tout d'abord, on factorise les fonctions, en deux (ou plus) facteurs.
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a) f(x) = (x+6)² - 5² = [ x+6 +5 ] [x + 6 - 5] = (x + 11) ( x + 1)
Les racine de f(x) = 0 , sont - 11 et -1.
f(x) < 0 si - 11 < x < -1 => x ∈ ]-11 ; -1 [
= 0 si x = -11 ou x = -1 => x ∈ { -11 , -1 }
> 0 si x < -11 ou x > -1 => x ∈ ] -∞ ; -11 [ U ] -1 ; ∞ [
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b) g(x) = (5 x -3)² - (x -4)² = [ 5 x - 3 + x - 4 ] [5 x - 3 - x + 4 ]
= (6 x - 7) ( 4 x + 1)
Les racines de g(x) = 0 sont 7/6 et -1/4
g(x) est négatif si -1/4 < x < 7/6
est nulle si x = -1/4 ou 7/6
est positif si x < -1/4 ou x > 7/6
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c) h(x) = x² - 7 x = x ( x - 7)
h(x) est négatif si 0 < x < 7
est positif si x < 0 ou x > 7
= 0 , x = 0 ou x = 7
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d)
k(x) = (-3 x + 8) (7 x - 4) - (-3 x + 8 ) ( 5 - 2 x )
= ( -3 x + 8 ) * [ (7 x - 4) - ( 5 - 2 x) ]
= ( -3 x + 8) * [ 9 x - 9 ] = - 9 (3 x - 8) (x - 1)
on note que il y a la signe négatif dans l'expression de k(x).
les racines de k(x) = 0 sont x = 8/3 et x = 1
k(x) est positive si 1 < x < 8/3
négatif si x < 1 ou x > 8/3
