Exercice 2
1.Vraie. Si un point est le milieu d'un segment alors ce point appartient au segment est est équidistant des extrémités du segment d'où IA = IB donc i est le milieu du segment [AB]
2.Vraie. les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que vec(u) = k.vect(v)
or 18 = -27*-2/3 et -26 = 39*-2/3 (* siginifie multiplié par)
donc vec(u) = -2/3 * vect(v)
3. Faux si x² >= 9 alors x <= -3 et x >= 3
Exercice 3
1. voir schéma joint
a) vec(AD) de coordonnées (xd-xa;yd-ya) = (3-0;3+1)= (3,4)
vec(CB) de coordonnées (xb-xc;yb-yc) = (2+1;5-1)= (3,4)
b) vec(AD) = vec(CB) donc ADBC est un parallélogramme
2. a) E est le symétrique de A par rapport à C donc C est le milieu du segment [AE] donc
vec(AC) = Vec(CE)
Vec(AC)- vec(CE) = Vec(0)
(xc-xa;yc-ya) - (xe-xc; ye-yx) = (0,0)
xc-xa-xe+xc = 0 et yc-ya-ye+yc = 0
2xc-xa-xe = 0 et 2yc-ya-ye = 0
2xc-xa = xe et 2yc-ya = ye
-2-0=xe et 2+1= ye
xe = -2 et ye = 3
Les coordonnées de E sont (-2,3)
b) AE= V[(xe-xa)²+(ye-ya)²] (V se lit racine de)
AE = V[(-2-0)²+(3+1)²] = V((-2)²+4²) = V(4+16) = V20
3. a) AE = V20 = V(4*5) = 2V5 = BE
donc le triangle ABE est isocèle en E
b) AB² = (2V10)² = 4*10 = 40
AE²+BE² = 2AE² = 2*(V20)² = 2*20 = 40
AB² = AE²+BE² donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABE est rectangle en E et son hypoténuse [AB].
Le centre du cercle circonscrit au triangle ABE est le milieu O de [AB] de coordonnées :
xo = (xa+xb)/2 et yo = (ya+yb)/2
xo = (0+2)/2 = 1 et yo = (-1+5)/2 = 2
O à pour coordonnées (1,2)
Exercice 4
1. M(0,0)
N(1,0)
P(1,1)
O(1/2,1/2) ou (0.5,0.5)
2. vec(MO) (xo-xm;yo-ym)=(1/2-0;1/2-0) = (1/2,1/2)
vec(NA) (xa-xn;ya-yn) = (xa-1;ya)
donc
xa-1 = 1/2
xa = 1/2+1 = 3/2 = 1.5
et ya = 1/2 = 0.5
A a pour coordonnées (1.5,0.5)
3. vec(MN)+vec(MO) = vec(MN)+Vec(NA) = vec(MA)
vec(MA) (xa-xm; ya-ym)= (1.5,0.5)
vec(PB) (1.5;0.5)=(xb-xp,yb-yp) = (xb-1,yb-1)
donc
xb-1 = 1.5
xb = 1.5+1 = 2.5
et yb-1 = 0.5
yb = 0.5+1 = 1.5
Les coordonnées de B sont (2.5,1.5)
4. voir schéma joint
5. Milieu de [CA] :
(xc+xa)/2 = (3/2+3/2)/2 =(6/2)/2 = 3/2
et (yc+ya)/2 = (3/2+1/2)/2 =(4/2)/2 = 2/2 =1
Milieu de [BO] :
(xo+xb)/2 = (1/2+5/2)/2 =(6/2)/2 = 3/2
et (yo+yb)/2 = (1/2+3/2)/2 =(4/2)/2 = 2/2 =1
Le milieu de [CA] est aussi le Milieu de [BO] or un quadrilatère dont les diagonales se croisent en leur milieu est un parallélogramme donc ABCO est un quadrilatère.
