Tu ne peux pas faire l'exercice 75 complètement. Je le fais comme ci-dessous. Suivre les étapes avec soin.
[tex]f(x) = \frac{x^2-3x}{x-2},\ sur\ I=]-\infty;2[ \\ \\ f(x) soit =\frac{u}{v},\ u=x^2-3x,\ v=x-2\\\\(x^n)'=n*x^{n-1},\ (x)'=1,\ (x^2)=2x,\ (k*U)'= kU'\\\\f'(x)=\frac{vu'-uv'}{v^2}\\\\ =\frac{(x-2)(2x-3)-(x^2-3x)(1)}{(x-2)^2}\\\\f'(x)=\frac{2x^2-4x-3x+6-x^2+3x}{(x-2)^2}\\\\=\frac{x^2-4x+6}{(x-2)^2}\\[/tex]
(x-2)² est toujours positif. Donc, la signe de f '(x) est la signe de g(x) = x² - 4x + 6.
g(x) = x^2 - 4x + 4 + 2 = (x-2)^2 + 2 , c'est toujours positif. Donc, f '(x) est toujours positif en intervalle ] -∞ ; 2 [.
Il n'y a pas une solution de l’équation g(x) = 0. Les racines sont pas réels. Donc, il n'y a pas d'un extremum locaux (maximum ou minimum) pour f(x) en ] -∞ ; ∞ [.
Car f '(x) > 0, f (x) est toujours montant de la gauche vers le droite. Au x = 2, la fonction n'est pas définie et ne pas continue.
un tableau des valeurs de f(x) , s'il y a des doutes:
x -100 -8 -6 -3 -2 -1 0 1 1,5 1,75
f(x) -100,98 -8,8 -6,75 -3,6 -2,5 -1,33 0 2 4,5 12,25
x 2,01 2,1 2,5 2,75 3 4 6 100
f(x) -198 -18,9 2,5 -0,92 0 2 4.5 98,98
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exercice 75
[tex]f(x) = \frac{-x^2}{x+1},\ \ I=]-1\ ;\ +\infty [\\ \\ u=-x^2,\ v=x+1,\ u'=-2x,\ v'=1\\\\f'(x)=\frac{vu'-uv'}{v^2}=\frac{(x+1)(-2x)-(-x^2)(1)}{(x+1)^2}=\frac{-x(x+2)}{(x+1)^2}\\\\les\ racines\ de\ l’equation\ f'(x)=0\ sont\ x=0,\ et\ x=-2.[/tex]
Donc, f(x) a une extremum locaux au x = 0 et une extremum locaux au x = -2.
f '(x) est positif pour -2 < x < 0
f '(x) est négatif pour - ∞ < x < -2 et 0 < x < ∞.
Donc, f(x) est croissante en -2 < x < 0
f (x) est décroissante en - ∞ < x < -2 et 0 < x < ∞
f(x) est croissante en ] -1 ; 0 [ et décroissante en ] 0 ; ∞ [
Donc, on peut déduire que f (x) a un minimum au x = -2. et un maximum au x = 0. La fonction n'est pas définit au x = -1. Donc, f(x) n'est pas continue au x = -1.
un tableau des valeurs de f(x)
x -11 -6 -3 -2 -1,5 -1,1 -0,75 -0,5 0 0,5 1 3
f (x) 12,1 7,2 4,5 4 4,5 12.1 -2,25 -0,5 0 -0,17 -0,5 -2,25
