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je n'arrive pas à faire ce devoir:
On considère deux cercles (c1) et (c2) de centres respectifs A et B. Les points Cet G sont leurs deux points d'intersection.
La droite (AC) recoupe le cercle (c1) en H et le cercle (c2) en E.
La droite (BC) recoupe (c1) en D et (c2) en F.
a) Démontre que les droites (HG) et (GC) sont perpendiculaires. De même, que peux-tu dire des droites (GF)et (GC) ?
b) Démontre que les points H,G et F sont alignés.
c) Quelle est la nature de HDF ? justifie
d) Démontre que les points D,E,F et H sont cocycliques, c'est à dire situés sur un même cercle (tu préciseras un diamètre de ce cercle).
Merci par avance

Sagot :

a. Démontre que les droites (HG) et (GC) sont perpendiculaires. 

- C et H sont deux points situés sur le cercle (C1). A le centre du cercle (C1) appartient au segment [CH], donc CH est un diamètre du cercle (C1). 
G un point situé sur le cercle (C1). 

Or un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle. 
Donc CGH rectangle en G <==> (HG) et (GC) sont perpendiculaires 


De même, que peux-tu dire des droites (GF) et (GC) ? 
- Tu utilises le même raisonnement, à savoir que dans ce cas CF est un diamètre du cercle (C2), tu montres alors que le triangle CGF est rectangle en G. 




b. Démontre que les points H, G et F sont alignés. 
-Tu as montré que : 
(HG) et (GC) sont perpendiculaires 
et (GF) et (GC) sont perpendiculaires 
donc (HG) et (GF) sont parallèles. 
Et elles ont en plus un point en commun (G), donc elles sont confondues. D'où H,G et F sont alignés.  c) HCD sont sur le cercle C1. HC diametre de C1, donc HCD triangle rectangle en D, donc HD perpendiculaire à DC.  "La droite (BC) recoupe (C1) en D et (C2) en F" donc BCDF sont alignés. Donc HD qui était perpendiculaire à DC l'est également par rapport à DF.  -> HDF triangle rectangle           d) La symétrie du problème fait que par analogie avec la question c),on a immédiatement, le triangle HEF est rectangle en E.  On a donc deux triangle rectangle HEF et HDF qui ont leur hypoténuse HF en commun. Les points HEDF sont donc cocycliques, et appartiennent au cercle de diamètre HF
(AB) perpendiculaire (CG) (médiatrice) donc coupe [CG] au milieu M
(AB) // (HG) (theoreme des milieux triangle HCG)
donc (CG) perpendiculaire (HG) => idem pour (CG) perpendiculaire (FG)

angle FGM = angle MGH =90° donc angle FGH =180°
conclusion H,G,F sont alignés

C1 cercle circonscrit au triangle CDH (A milieu de [HC]) donc angle HDC =90°
Le triangle HDF rectangle en D
idem HEF rectangle en E

Théorème cercle circonscrit triangle HDF  et HEF :IH=ID=IE=IF donc sur un cercle de centre I et de rayon IF

Et voila il te reste à rédiger plus précisément... (les idées sont là!)





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