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Ahmedih
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La dérivation 1ère SM

1) Soit f une fonction: f(x)=x³-x²+a
Trouve a sachant que la droite y-x+2=0 est une tangente de la courbe (Cf) dans un point A dont l’abscisse est 1. A(1;..)

2) Soit f une fonction: f(x)=x³+ax²+bx
Comment doit-on choisir a et b pour que la fonction f accepte deux extremums

3) f(x)=(ax-1)/(2x²-x)
a) Trouve Df
b) calcule lim f(x) et lim f(x) et lim f(x)
               x->0       x->0         x->-∞
               x>0        x<0
c) Précise la valeur de a pour que la fonction f accepte un extremum en 1/2

Sagot :

Anylor
pour 1)
f(x)=x³-x²+a
équation de la tangente  y-x+2=0            =>  y = x -2
le point A  d'abscisse x =1 appartient à la courbe et à la tangente
 y = x -2           => y = 1 -2 = - 1
A appartient aussi à f(x) =>   f(1) = -1       =>  (1)³  - (1)² + a  =  -1     =>  a = -1

  donc f(x) = f(x)=x³-x² -1

pour 2)
f(x)=x³+ax²+bx    
on calcule la dérivée   f' (x) = 3x² +2ax +b

delta = b² -4ac  = 4a² - 4*3*b = 4a² -12b

pour avoir 2 extremums delta doit être positif car il doit y avoir 2 racines
4a² -12b> 0     
si b négatif                  4a² -12b      sera toujours positif
1er cas
donc on doit choisir     a € R et b< 0  
ou  2nd cas
4a² > 12b         a² > (12/4)b       a > V(3b)
donc il faut choisir a >0   ;  b> 0   et    a > V(3b)

pour 3) f(x)=(ax-1) / (2x²-x)
 domaine de définition
2x² – x différent de 0 => x ( x -1) différent de 0 => x différent de 0
 et x différent de 1
Df = R* - { 1}

limite de f(x) quand x-> 0 ( x>0) = + OO
limite de f(x) quand x-> 0 ( x< 0) = - OO

limite de f(x) quand x-> -OO    = 0

dérivée de f(x) = 
on utilise la formule u'v-uv' / v²

f ' x)  =   - 2ax² +4x -1  /  (2x²-x)²

pour que la fonction accepte un extremum
il faut qu'il y ait une seule racine  ( racine double x1 =x2 = 1/2)
donc
il faut que delta =0
il faut que la fonction soit une parabole   ->  fonction polynôme de degré 2

mais  f(x)=(ax-1) / (2x²-x) est une fonction rationnelle
donc sa courbe est une hyperbole  ( branche infinies)

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